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第1章 复数回顾 1

1.1 复数 1

1.2 复数的算术运算 1

1.3 共轭复数 复数的模 2

1.4 复数的几何表示 4

1.5 复数的幂与方根 6

1.6 无穷远点及Riemann球面 7

第2章 极限与连续 10

2.1 平面点集 10

2.2 聚点、开集、闭集 10

2.3 复数序列 11

2.4 区域 13

2.5 Jordan曲线 14

2.6 复变量函数的极限与连续性 16

第3章 解析函数 25

3.1 复变函数的导数 25

3.2 导数的初步应用 29

3.3 Cauchy-Riemann方程 32

3.4 Cauchy-Riemann方程的极坐标形式 36

3.5 Cauchy-Riemann方程的一些推论 37

3.6 Laplace方程与调和函数 39

3.7 单叶函数 反函数 41

3.8 幂级数 42

第4章 初等函数 48

4.1 多项式及有理函数 48

4.2 指数函数 51

4.3 对数函数 52

4.4 幂函数 56

4.5 三角函数 双曲函数 58

第5章 复积分 64

5.1 围道 64

5.2 围道积分 64

5.3 Cauchy-Goursat定理 70

5.4 Cauchy-Goursat定理的推广 76

5.5 不定积分 77

5.6 Cauchy积分公式 79

5.7 导数的Cauchy积分公式 80

5.8 Cauchy不等式 85

5.9 Liouville定理 85

5.10 Morera定理 85

第6章 矩阵函数及其应用 87

6.1 向量与矩阵的范数、Gelfand定理 87

6.2 矩阵的微分与围道积分 97

6.3 矩阵函数 98

6.4 矩阵函数的Cauchy积分表示 104

6.5 谱映象定理及其应用 108

6.6 矩阵函数的连续性定理 112

6.7 矩阵幂An的一致有界性（Kreiss定理） 115

6.8 Von-Nuemann定理及应用 118

6.9 Nevanlinna定理 126

第7章 保角映射 133

7.1 初等函数的几何面貌 133

7.2 保角映射 139

7.3 弧长的微分关系 141

7.4 ρ＝ρ（z）的作用 142

7.5 线性变换 144

7.6 线性变换的例 148

7.7 Riemann映射定理 155

7.8 M？bius映射的一个应用（Von-Nuemann定理） 155

第8章 函数项级数、函数的展开 157

8.1 函数序列 157

8.2 函数项级数 161

8.3 Taylor展开 163

8.4 Laurent展开式 165

8.5 Taylor级数与Laurent级数之例 167

8.6 （Log z+1/Z-1）-1的Laurent展开 173

8.7 解析函数的零点分布 175

8.8 解析函数的最大模原理，调和函数的极值原理 177

8.9 一类有理分式的最大模原理及Hurwitz定理 181

8.10 解常微分方程的单步法 183

8.11 解常微分方程的多步法 184

第9章 复函数奇点的分类 188

9.1 序言 188

9.2 可去奇点 188

9.3 极 190

9.4 本性奇点Picard定理 192

9.5 零点的聚点 193

9.6 函数f（z）在无穷远处的性态 194

9.7 有理函数的特性 195

9.8 一类特征函数的零点分布（Ⅰ） 196

第10章 残数及其应用 200

10.1 残数及计算 200

10.2 残数定理 205

10.3 辐角原理 206

10.4 用残数定理求定积分 209

10.5 儒歇（Rouché）定理 216

10.6 一类滞后差分方程的稳定性 217

10.7 一类特征函数的零点分布（Ⅱ） 226

第11章 整函数及半纯函数 230

11.1 无穷乘积 230

11.2 整函数 236

11.3 半纯函数 241

11.4 半纯函数的Cauchy分解法 245

第12章 解析开拓 250

12.1 解析开拓的定义 250

12.2 解析开拓之唯一性定理 251

12.3 完全解析函数 253

12.4 解析开拓的幂级数方法 254

12.5 单值性定义及单值性定理 255

第13章 多值函数 258

13.1 多值函数的概念 258

13.2 Riemann曲面 259

13.3 定义于Riemann曲面上的函数 262

13.4 代数函数 264

第14章 一类特征函数的零点分布Ⅲ 271

14.1 序言 271

14.2 特征函数P（s，т1，т2，…，тd）的零点分布 280

14.3 某些推论 291

14.4 Runge-Kutta方法的NP稳定性 292

14.5 中立型微分代数方程的渐近性态 296

第15章 数值方法的L型稳定性 302

15.1 差分方程的性质 302

15.2 特征函数P（ζ）的零点分布 304

15.3 θ方法的PL稳定性（L型稳定性） 306

15.4 Runge-Kutta方法的GPL稳定性 309

参考文献 317

附录 多复变函数论初步 319

A.1 多复变全纯函数 319

A.2 Cauchy-Riemann方程 323

A.3 唯一性定理，开映射定理，最大模原理 324

A.4 多圆盘上的Cauchy积分公式 327

A.5 Hartogs定理，Hartogs现象 330

A.6 Reinhardt域上的全纯函数 334

索引 339

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