数学物理方法与仿真 第2版PDF格式文档图书下载

第一篇 复变函数论 2

第1章 复数与复变函数 2

1.1 复数概念及其运算 3

1.1.1 复数概念 3

1.1.2 复数的基本代数运算 4

1.2 复数的表示 4

1.2.1 复数的几何表示 4

1.2.2 复数的三角表示 5

1.2.3 复数的指数表示 6

1.2.4 共轭复数 6

1.2.5 复球面、无穷远点 7

1.3 复数的乘幂与方根 8

1.3.1 复数的乘幂 8

1.3.2 复数的方根 9

1.3.3 实践编程：正17边形的几何作图法 10

1.4 区域 11

1.4.1 基本概念 11

1.4.2 区域的判断方法及实例分析 13

1.5 复变函数 14

1.5.1 复变函数概念 14

1.5.2 复变函数的几何意义——映射 15

1.6 复变函数的极限 16

1.6.1 复变函数极限概念 16

1.6.2 复变函数极限的基本定理 16

1.7 复变函数的连续 17

1.7.1 复变函数连续的概念 17

1.7.2 复变函数连续的基本定理 18

1.8 典型综合实例 18

小结 23

习题 24

计算机仿真编程实践 25

第2章 解析函数 27

2.1 复变函数导数与微分 27

2.1.1 复变函数的导数 27

2.1.2 复变函数的微分概念 29

2.1.3 可导的必要条件 29

2.1.4 可导的充分必要条件 31

2.1.5 求导法则 32

2.1.6 复变函数导数的几何意义 33

2.2 解析函数 34

2.2.1 解析函数的概念 34

2.2.2 解析函数的法则 35

2.2.3 函数解析的充分必要条件 35

2.2.4 解析函数的几何意义（映射的保角性） 38

2.3 初等解析函数 39

2.3.1 指数函数（单值函数） 39

2.3.2 对数函数——指数函数的反函数（多值函数） 40

2.3.3 三角函数（单值函数） 42

2.3.4 反三角函数（多值函数） 44

2.3.5 双曲函数（单值函数） 44

2.3.6 反双曲函数（多值函数） 45

2.3.7 整幂函数zn（单值函数） 46

2.3.8 一般幂函数与根式函数w=？（多值函数） 46

2.3.9 多值函数的基本概念 48

2.4 解析函数与调和函数的关系 49

2.4.1 调和函数与共轭调和函数的概念 49

2.4.2 解析函数与调和函数之间的关系 50

2.4.3 解析函数的构建方法 50

2.5 解析函数的物理意义——平面矢量场 52

2.5.1 用解析函数表述平面矢量场 52

2.5.2 静电场的复势 52

2.6 典型综合实例 54

小结 57

习题 57

计算机仿真编程实践 58

第3章 复变函数的积分 59

3.1 复变函数的积分 59

3.1.1 复变函数积分的概念 59

3.1.2 复积分存在的条件及计算方法 60

3.1.3 复积分的基本性质 60

3.1.4 复积分的计算典型实例 61

3.1.5 复变函数环路积分的物理意义 62

3.2 柯西积分定理及其应用 63

3.2.1 柯西积分定理 63

3.2.2 不定积分 64

3.2.3 典型应用实例 66

3.2.4 柯西积分定理（柯西-古萨定理）的物理意义 66

3.3 基本定理的推广——复合闭路定理 67

3.4 柯西积分公式 70

3.4.1 有界区域的单连通柯西积分公式 70

3.4.2 有界区域的复连通柯西积分公式 71

3.4.3 无界区域的柯西积分公式 72

3.5 柯西积分公式的几个重要推论 74

3.5.1 解析函数的无限次可微性（高阶导数公式） 74

3.5.2 解析函数的平均值公式 76

3.5.3 柯西不等式 76

3.5.4 刘维尔定理 76

3.5.5 莫勒纳定理 77

3.5.6 最大模原理 77

3.5.7 代数基本定理 77

3.6 典型综合实例 78

小结 82

习题 84

计算机仿真编程实践 85

第4章 解析函数的幂级数表示 86

4.1 复数项级数的基本概念 86

4.1.1 复数项级数概念 86

4.1.2 复数项级数的判断准则和定理 86

4.2 复变函数项级数 88

4.3 幂级数 90

4.3.1 幂级数概念 90

4.3.2 收敛圆与收敛半径 91

4.3.3 收敛半径的求法 92

4.4 解析函数的泰勒级数展开式 94

4.4.1 泰勒级数 95

4.4.2 将函数展开成泰勒级数的方法 96

4.5 罗朗级数及展开方法 97

4.5.1 罗朗级数 97

4.5.2 罗朗级数展开方法实例 99

4.5.3 用级数展开法计算闭合环路积分 101

4.6 典型综合实例 102

小结 105

习题 107

计算机仿真编程实践 108

第5章 留数定理 109

5.1 解析函数的孤立奇点 109

5.1.1 孤立奇点概念 109

5.1.2 孤立奇点的分类及其判断定理 109

5.2 解析函数在无穷远点的性质 113

5.3 留数概念 114

5.4 留数定理与留数和定理 116

5.5 留数的计算方法 117

5.5.1 有限远点留数的计算方法 117

5.5.2 无穷远点的留数计算方法 119

5.6 用留数定理计算实积分 120

5.6.1 ？πR(cosθ,sinθ)dθ型积分 121

5.6.2 ？P(X)/Q(x)dx型积分 122

5.6.3 ？f(x)eiaxdx(a＞0)型积分 124

5.6.4 其他类型（积分路径上有奇点）的积分计算举例 126

5.7 典型综合实例 128

小结 131

习题 133

计算机仿真编程实践 134

第6章 保角映射 135

6.1 保角映射的概念 135

6.2 分式线性映射 136

6.2.1 分式线性映射的概念 136

6.2.2 两种基本映射 137

6.2.3 分式线性映射的性质 138

6.2.4 分式线性映射的确定及应用 139

6.2.5 三类典型的分式线性映射 142

6.3 几个初等函数所构成的映射 145

6.3.1 幂函数映射 145

6.3.2 指数函数w=ez映射 146

6.3.3 儒可夫斯基函数映射 147

6.4 典型综合实例 148

小结 150

习题 152

计算机仿真编程实践 153

第一篇复变函数论全篇总结框图 153

第一篇综合测试题 153

第二篇 数学物理方程 156

第7章 数学建模——数学物理定解问题 156

7.1 数学建模——波动方程类型的建立 158

7.1.1 波动方程的建立 158

7.1.2 波动方程的定解条件 164

7.2 数学建模——热传导方程类型的建立 165

7.2.1 数学物理方程——热传导类型方程的建立 165

7.2.2 热传导（或扩散）方程的定解条件 168

7.3 数学建模——稳定场方程类型的建立 169

7.3.1 稳定场方程类型的建立 169

7.3.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件 170

7.4 数学物理定解理论 171

7.4.1 定解条件和定解问题的提法 171

7.4.2 数学物理定解问题的适定性 172

7.4.3 数学物理定解问题的求解方法 172

7.5 典型综合实例 172

小结 175

习题 175

计算机仿真编程实践 176

第8章 二阶线性偏微分方程的分类 177

8.1 基本概念 177

8.2 数学物理方程的分类 178

8.3 二阶线性偏微分方程标准化 181

8.4 二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简 183

8.5 线性偏微分方程解的特征 185

8.6 典型综合实例 185

小结 186

习题 187

计算机仿真编程实践 187

第9章 行波法与达朗贝尔公式 188

9.1 二阶线性偏微分方程的通解 188

9.2 二阶线性偏微分方程的行波解 189

9.3 达朗贝尔公式 190

9.3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式 190

9.3.2 达朗贝尔公式的物理意义 191

9.4 达朗贝尔公式的应用 191

9.4.1 齐次偏微分方程求解 191

9.4.2 非齐次偏微分方程的求解 194

9.5 定解问题的适定性验证 195

9.6 典型综合实例 196

小结 198

习题 199

计算机仿真编程实践 200

第10章 分离变量法 201

10.1 分离变量理论 201

10.1.1 偏微分方程变量分离及条件 201

10.1.2 边界条件可实施变量分离的条件 202

10.2 直角坐标系下的分离变量法 202

10.2.1 分离变量法介绍 202

10.2.2 解的物理意义 205

10.2.3 三维形式的直角坐标分离变量 206

10.2.4 直角坐标系分离变量例题分析 207

10.3 二维极坐标系下拉普拉斯方程的分离变量法 210

10.4 球坐标系下的分离变量法 213

10.4.1 拉普拉斯方程△u=0的分离变量（与时间无关） 213

10.4.2 与时间有关的方程的分离变量 215

10.4.3 亥姆霍兹方程的分离变量 216

10.5 柱坐标系下的分离变量 216

10.5.1 与时间无关的拉普拉斯方程分离变量 216

10.5.2 与时间相关的方程的分离变量 218

10.6 非齐次二阶线性偏微分方程的解法 219

10.6.1 泊松方程非齐次方程的特解法 219

10.6.2 非齐次偏微分方程的傅里叶级数解法 221

10.7 非齐次边界条件的处理 222

10.8 典型综合实例 224

小结 228

习题 230

计算机仿真编程实践 232

第11章 幂级数解法——本征值问题 233

11.1 二阶常微分方程的幂级数解法 233

11.1.1 幂级数解法理论概述 233

11.1.2 常点邻域上的幂级数解法（勒让德方程的求解） 234

11.1.3 奇点邻域的级数解法（贝塞尔方程的求解） 236

11.2 施图姆-刘维尔本征值 239

11.2.1 施图姆-刘维尔本征值问题 239

11.2.2 施图姆-刘维尔本征值问题的性质 240

11.2.3 广义傅里叶级数 241

11.2.4 复数的本征函数族 242

11.2.5 希尔伯特空间矢量分解 243

11.3 综合实例 243

小结 243

习题 245

计算机仿真编程实践 245

第12章 格林函数法 246

12.1 格林公式 246

12.2 解泊松方程的格林函数法 246

12.3 无界空间的格林函数基本解 249

12.3.1 三维球对称情形 250

12.3.2 二维轴对称情形 250

12.4 用电像法确定格林函数 251

12.4.1 上半平面区域第一边值问题的格林函数构建方法 251

12.4.2 上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 253

12.4.3 圆形区域第一边值问题的格林函数构建 254

12.4.4 球形区域第一边值问题的格林函数构建 255

12.5 典型综合实例 256

小结 257

习题 259

计算机仿真编程实践 259

第13章 积分变换法求解定解问题 260

13.1 傅里叶变换 260

13.1.1 傅里叶变换 260

13.1.2 广义傅里叶变换 261

13.1.3 傅里叶变换的基本性质 263

13.2 拉普拉斯变换 268

13.2.1 拉普拉斯变换 268

13.2.2 拉普拉斯变换的性质 270

13.2.3 拉普拉斯变换的反演 273

13.3 傅里叶变换法解数学物理定解问题 275

13.3.1 弦振动问题 275

13.3.2 热传导问题 277

13.3.3 稳定场问题 278

13.4 拉普拉斯变换解数学物理定解问题 279

13.4.1 无界区域的问题 280

13.4.2 半无界区域的问题 280

小结 282

习题 284

第14章 保角变换法求解定解问题 285

14.1 保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系 285

14.2 保角变换法求解定解问题典型实例 286

习题 290

计算机仿真编程 290

第15章 数学物理方程综述 291

15.1 线性偏微分方程解法综述 291

15.2 非线性偏微分方程 292

15.2.1 孤立波 292

15.2.2 冲击波 294

小结 295

第二篇综合测试题 296

第三篇 特殊函数 297

第16章 勒让德多项式——球函数 297

16.1 勒让德方程及其解的表示 297

16.1.1 勒让德方程、勒让德多项式 297

16.1.2 勒让德多项式的表示 298

16.2 勒让德多项式的性质及其应用 300

16.2.1 勒让德多项式的性质 300

16.2.2 勒让德多项式的应用（广义傅里叶级数展开） 303

16.3 勒让德多项式的生成函数（母函数） 305

16.3.1 勒让德多项式的生成函数的定义 305

16.3.2 勒让德多项式的递推公式 306

16.4 连带勒让德函数 307

16.4.1 连带勒让德函数的定义 307

16.4.2 连带勒让德函数的微分表示 309

16.4.3 连带勒让德函数的积分表示 309

16.4.4 连带勒让德函数的正交关系与模的公式 309

16.4.5 连带勒让德函数——广义傅里叶级数 309

16.4.6 连带勒让德函数的递推公式 310

16.5 球函数 310

16.5.1 球函数的方程及其解 310

16.5.2 球函数的正交关系和模的公式 311

16.5.3 球面上函数的广义傅里叶级数 312

16.5.4 拉普拉斯方程的非轴对称定解问题 313

16.6 典型综合实例 314

小结 317

习题 320

计算机仿真编程实践 320

第17章 贝塞尔函数 321

17.1 贝塞尔方程及其解 321

17.1.1 贝塞尔方程 321

17.1.2 贝塞尔方程的解 321

17.2 三类贝塞尔函数的表示式及性质 322

17.2.1 第一类贝塞尔函数 322

17.2.2 第二类贝塞尔函数 324

17.2.3 第三类贝塞尔函数 324

17.3 贝塞尔函数的基本性质 325

17.3.1 贝塞尔函数的递推公式 325

17.3.2 贝塞尔函数与本征值问题 327

17.3.3 贝塞尔函数的正交性和模 329

17.3.4 广义傅里叶-贝塞尔级数 330

17.3.5 贝塞尔函数的母函数（生成函数） 331

17.4 虚宗量贝塞尔方程 332

17.4.1 虚宗量贝塞尔方程的解 332

17.4.2 第一类虚宗量贝塞尔函数的性质 333

17.4.3 第二类虚宗量贝塞尔函数的性质 333

17.5 球贝塞尔方程 334

17.5.1 球贝塞尔方程 334

17.5.2 球贝塞尔方程的解 334

17.5.3 球贝塞尔函数的级数表示 335

17.5.4 球贝塞尔函数的递推公式 335

17.5.5 球贝塞尔函数的初等函数表示式 335

17.5.6 球形区域内的球贝塞尔方程的本征值问题 336

17.6 典型综合实例 336

小结 339

习题 341

计算机仿真编程实践 341

第三篇综合测试题 341

第四篇 计算机仿真 343

第18章 计算机仿真在复变函数中的应用 343

18.1 复数运算和复变函数的图形 343

18.1.1 复数的基本运算 343

18.1.2 复数的运算 344

18.1.3 复变函数的图形 346

18.2 复变函数的极限与导数、解析函数 348

18.2.1 复变函数的极限 348

18.2.2 复变函数的导数 349

18.2.3 解析函数 350

18.3 复变函数的积分与留数定理 350

18.3.1 非闭合路径的积分计算 350

18.3.2 闭合路径的积分计算 351

18.4 复变函数级数 352

18.4.1 复变函数级数的收敛及其收敛半径 352

18.4.2 单变量函数的泰勒级数展开 353

18.4.3 多变量函数的泰勒级数展开 354

18.5 傅里叶变换及其逆变换 355

18.5.1 傅里叶积分变换 355

18.5.2 傅里叶逆变换 356

18.6 拉普拉斯变换及其逆变换 356

18.6.1 拉普拉斯变换 357

18.6.2 拉普拉斯逆变换 357

计算机仿真编程实践 358

第19章 数学物理方程的计算机仿真求解 359

19.1 用偏微分方程工具箱求解偏微分方程 359

19.1.1 用GUI解PDE问题 359

19.1.2 计算结果的可视化 359

19.2 计算机仿真编程求解偏微分方程 362

19.2.1 双曲型：波动方程的求解 362

19.2.2 抛物型：热传导方程的求解 365

19.2.3 椭圆型：稳定场方程的求解 367

19.2.4 点源泊松方程的适应解 369

19.2.5 亥姆霍兹方程的求解 370

19.3 定解问题的计算机仿真显示 371

19.3.1 波动方程解的动态演示 372

19.3.2 热传导方程解的分布 373

19.3.3 泊松方程解的分布 374

19.3.4 格林函数解的分布 375

19.3.5 本征值问题中本征函数的分布 376

计算机仿真编程实践 377

第20章 特殊函数的计算机仿真应用 378

20.1 连带勒让德函数、勒让德函数、球函数 378

20.1.1 连带勒让德函数 378

20.1.2 勒让德多项式 378

20.1.3 球函数 379

20.1.4 勒让德多项式的母函数图形 379

20.2 贝塞尔函数（柱函数） 380

20.2.1 贝塞尔函数 380

20.2.2 虚宗量贝塞尔函数 382

20.2.3 球贝塞尔函数的图形 382

20.2.4 平面波用柱面波形式展开 383

20.2.5 定解问题的图形显示 384

20.3 其他特殊函数 385

计算机仿真编程实践 385

第四篇综合测试题 386

参考文献 387

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