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第1章 数学物理方程及其定解问题 1

1.1 波动方程及其定解问题 2

1.1.1 波动方程的导出 2

1.1.2 典型定解条件 5

1.1.3 典型定解问题 10

习题1.1 11

1.2 热传导方程及其定解问题 12

1.2.1 热传导方程的导出 12

1.2.2 典型定解条件 14

1.2.3 典型定解问题 16

1.2.4 最值原理 17

习题1.2 19

1.3 位势方程及其定解问题 20

1.3.1 位势方程的导出 20

1.3.2 位势方程的典型定解问题 21

1.3.3 最值原理 22

习题1.3 23

1.4 定解问题的适定性及数学物理方程的分类 23

1.4.1 定解问题的适定性概念 23

1.4.2 二阶偏微分方程的分类 24

习题1.4 25

第2章 线性偏微分方程的通解 26

2.1 线性偏微分方程解的结构定理 26

习题2.1 27

2.2 常系数线性齐次偏微分方程的通解 27

习题2.2 29

2.3 常系数线性非齐次偏微分方程的通解 29

习题2.3 32

第3章 行波法 33

3.1 一维波动问题与达朗贝尔公式 33

3.1.1 无界弦的自由振动 33

3.1.2 齐次化原理 34

3.1.3 无界弦的受迫振动 35

3.1.4 达朗贝尔公式的物理意义 38

3.1.5 依赖区间、决定区域、影响区域 38

习题3.1 40

3.2 空间波动问题 41

3.2.1 函数的球面对称性 41

3.2.2 齐次波动问题的泊松公式 41

3.2.3 非齐次波动问题的Kirchhoff公式 47

3.2.4 波动问题解的物理意义 49

习题3.2 51

第4章 分离变量法 52

4.1 Sturm-Liouville本征值问题 52

4.1.1 第一边值条件的本征值问题 52

4.1.2 混合边值条件的本征值问题 53

4.1.3 各类本征值问题小结及级数展开 54

习题4.1 55

4.2 波动方程的定解问题 56

4.2.1 齐次方程的齐次边值问题 56

4.2.2 级数形式解的物理意义 59

4.2.3 非齐次方程的齐次边值问题 61

4.2.4 非齐次方程的第一非齐次边值问题 66

习题4.2 67

4.3 热传导方程的定解问题 68

4.3.1 齐次方程的第二齐次边值问题 68

4.3.2 非齐次方程的第二齐次边值问题 69

4.3.3 非齐次边值问题 71

4.3.4 混合边值问题举例 73

习题4.3 76

4.4 拉普拉斯方程的定解问题 77

4.4.1 圆域内的第一边值问题 77

4.4.2 矩形域内的第一边值问题 79

习题4.4 82

第5章 勒让德多项式及其应用 83

5.1 勒让德多项式 83

5.1.1 勒让德方程及其本征值问题 83

5.1.2 勒让德多项式 83

5.1.3 勒让德多项式的母函数与引力势 86

5.1.4 勒让德多项式的性质与勒让德级数 88

习题5.1 92

5.2 勒让德多项式的应用 93

习题5.2 98

第6章 贝塞尔函数 100

6.1 推广的Γ-函数 100

6.2 贝塞尔方程的导出 101

6.3 贝塞尔方程的通解与贝塞尔函数 103

6.4 贝塞尔级数展开 106

6.4.1 贝塞尔函数的恒等式 106

6.4.2 贝塞尔函数的正交性 107

6.4.3 贝塞尔级数展开 109

6.5 贝塞尔函数的应用 110

习题6.5 115

第7章 积分变换法 116

7.1 傅里叶积分变换 116

7.1.1 傅里叶积分公式与傅里叶变换 116

7.1.2 傅里叶变换的基本性质 120

7.1.3 卷积 121

7.1.4 多重傅里叶变换 124

习题7.1 125

7.2 拉普拉斯变换 125

7.2.1 拉普拉斯变换的定义 126

7.2.2 存在定理及性质 127

7.2.3 反演公式 130

习题7.2 133

7.3 傅里叶变换和拉普拉斯变换的应用 134

7.3.1 一般定解问题 134

7.3.2 拉普拉斯变换在化学反应工程中的应用 141

7.3.3 拉普拉斯变换在材料科学中的应用 145

习题7.3 147

第8章 格林函数法 149

8.1 δ-函数 149

8.1.1 δ-函数 149

8.1.2 δ-函数的物理意义 150

8.1.3 广义函数与δ-函数的数学性质 151

8.1.4 高维δ-函数 154

8.1.5 δ-函数的傅里叶变换和拉普拉斯变换 154

8.1.6 δ-函数及其傅里叶变换和卷积运算在通信工程中的应用 156

习题8.1 158

8.2 格林公式及其应用 158

8.2.1 格林公式 159

8.2.2 应用举例 159

习题8.2 160

8.3 位势问题的格林函数 161

8.3.1 格林函数的概念 161

8.3.2 位势方程的第一边值问题 163

8.3.3 用电像法求格林函数 164

习题8.3 167

8.4 含时间问题的格林函数 168

8.4.1 波动方程的初值问题 168

8.4.2 热传导方程的初值问题 172

习题8.4 174

第9章 数值求解法 175

9.1 波动方程的差分解法 176

9.2 热传导方程的差分解法 177

9.3 位势方程的差分解法 178

9.3.1 同步迭代法 180

9.3.2 异步迭代法 181

习题9.3 182

附录Ⅰ 常用公式 184

附录Ⅱ 线性常微分方程的通解 189

附录Ⅲ 傅里叶级数 191

附录Ⅳ 傅里叶变换表 191

附录Ⅴ 拉普拉斯变换表 192

部分习题参考答案 195

参考文献 208

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