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第1篇 常微分方程数值解 3

引言 3

第1章 常微分方程初值问题的理论基础 4

第2章 常微分方程初值问题的数值方法 5

2.1 Euler方法 5

2.1.1 显式Euler法 5

2.1.2 隐式Euler方法 6

2.2 梯形方法 9

2.3 Runge-Kutta方法 11

2.3.1 Runge-Kutta方法 11

2.3.2 Runge-Kutta方法的构造 12

2.4 单步法的收敛性与相容性 17

2.4.1 单步法的收敛性 17

2.4.2 单步法的相容性 18

2.5 一般线性多步法 19

2.5.1 显式Adams方法（外插法） 19

2.5.2 隐式Adams方法（内插法） 20

2.6 一般线性多步法的收敛性和稳定性 22

2.6.1 线性差分方程的基本性质 22

2.6.2 一般线性多步法的收敛性和稳定性 24

第2篇 偏微分方程数值解 31

第3章 基本理论及概念 31

3.1 偏微分方程定解问题 31

3.2 差分方程 31

3.2.1 定解区域的离散化 31

3.2.2 差分格式 32

3.2.3 显式格式与隐式格式 34

3.3 截断误差和收敛性 35

3.3.1 截断误差的概念 35

3.2.2 推导截断误差的方法 36

3.3.3 差分格式的收敛性 37

3.3.4 差分格式的稳定性 38

3.4 差分格式的构造方法 38

3.4.1 数值微分法 38

3.4.2 积分插值法 39

3.4.3 待定系数法 40

第4章 椭圆型方程的有限差分方法 43

4.1 Dirichlet边值问题 43

4.2 五点差分格式 44

4.2.1 差分格式的建立 44

4.2.2 差分格式解的存在性 47

4.2.3 差分格式的求解 47

4.2.4 差分格式解的先验估计 48

4.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 50

4.2.6 数值计算与Matlab模拟 51

4.3 紧差分格式 55

4.3.1 差分格式的建立 55

4.3.2 差分格式的求解 57

4.3.3 差分格式解的收敛性和稳定性 58

第5章 抛物型方程的差分方法 60

5.1 一维线性抛物方程 60

5.2 向前差分格式 60

5.2.1 差分格式的建立 61

5.2.2 差分格式解的存在性 62

5.2.3 差分格式的求解 63

5.2.4 差分格式解的先验估计 63

5.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 63

5.3 向后差分格式 65

5.3.1 差分格式的建立 65

5.3.2 差分格式解的存在性 66

5.3.3 差分格式解的先验估计 66

5.3.4 差分格式解的收敛性和稳定性 67

5.4 Richardson格式 67

5.4.1 差分格式的建立 67

5.4.2 差分格式的求解 68

5.4.3 差分格式的不稳定性 69

5.5 Grank-Nicolson格式 69

5.5.1 差分格式的建立 70

5.5.2 差分格式解的存在性 71

5.5.3 差分格式解的先验估计 72

5.5.4 差分格式解的收敛性和稳定性 72

5.6 数值模拟 73

第6章 双曲型方程的有限差分方法 75

6.1 波动方程 75

6.2 显式差分格式 79

6.2.1 差分格式的建立 79

6.2.2 差分格式解的收敛性和稳定性 81

6.3 隐式差分格式 82

6.3.1 差分格式的建立 82

6.3.2 差分格式解的收敛性和稳定性 86

6.4 数值模拟 87

6.5 一阶双曲方程 89

6.5.1 迎风格式 89

6.5.2 积分守恒的差分格式 91

6.5.3 其他差分格式 92

6.5.4 数值模拟 93

第7章 谱方法 96

7.1 Fourier谱方法 96

7.1.1 指数正交多项式 96

7.1.2 一阶波动方程的Fourier谱方法 97

7.2 Chebyshev谱方法 98

7.2.1 Chebyshev多项式 98

7.2.2 Gauss型积分的节点和权函数 99

7.2.3 数值分析 100

7.2.4 数值模拟 101

7.2.5 热传导方程的应用 103

第8章 有限元方法 107

8.1 边值问题的变分形式 107

8.1.1 Sobolcv空间H m（I） 107

8.1.2 a（u，υ）基本性质 110

8.2 有限元法 112

8.2.1 Ritz-Galerkin法 112

8.2.2 有限元法构造 114

8.3 线性有限元法的误差估计 117

8.3.1 H1估计 117

8.3.2 L2估计 118

8.4 二次元 119

8.4.1 单元插值函数 120

8.4.2 有限元方程的形成 122

8.5 椭圆型方程边值问题的有限元法 123

8.5.1 变分原理 123

8.5.2 Ritz-Galerkin方法 124

8.5.3 有限元方法 125

8.6 抛物型方程初边值问题的有限元法 128

第3篇 分数阶偏微分方程数值解 135

引言 135

第9章 分数阶微积分的相关概念及算法 136

9.1 分数阶微积分定义及其相互关系 136

9.2 Riemann-Liouville分数阶微积分的G算法 138

9.3 Riemann-Liouville分数阶导数的D算法 140

9.4 Riemann-Liouville分数阶积分的R算法 141

9.5 分数阶导数的L算法 143

9.6 分数阶差商逼近的一般通式 144

9.7 经典整数阶数值微分、积分公式的推广 146

9.7.1 经典向后差商及中心差商格式的推广 146

9.7.2 插值型数值积分公式的推广 148

9.7.3 经典线性多步法的推广（Lubich分数阶线性多步法） 148

第10章 分数阶常微分方程数值解方法 152

10.1 直接法 153

10.2 间接法 157

10.2.1 R算法 157

10.2.2 分数阶预估-校正方法 157

10.3 差分格式 157

10.4 误差分析 159

第11章 分数阶偏微分方程数值解解法 161

11.1 空间分数阶对流-扩散方程 161

11.2 时间分数阶偏微分方程 164

11.2.1 差分格式 165

11.2.2 稳定性分析（Fouricr-Von Ncumann方法） 165

11.2.3 误差分析 166

11.3 时间-空间分数阶偏微分方程 168

11.3.1 差分格式 168

11.3.2 稳定性及收敛性分析 170

参考文献 173

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