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第1章 函数、极限、连续 1

1.1 函数 1

1.1.1　预备知识 1

1.1.2　函数的概念 3

1.1.3　函数的几种特性 7

1.1.4　反函数 8

1.1.5　复合函数、初等函数 9

习题1.1 12

1.2　数列的极限 14

1.2.1　数列极限的定义 14

1.2.2　收敛数列的性质 18

习题1.2 20

1.3　函数的极限 21

1.3.1　函数极限的定义 21

1.3.2　函数极限的性质 25

习题1.3 26

1.4　无穷小与无穷大 27

1.4.1　无穷小 27

1.4.2　无穷大 29

习题1.4 30

1.5　极限运算法则 31

习题1.5 35

1.6　极限存在准则、两个重要极限 36

1.6.1　夹逼准则 36

1.6.2　单调有界收敛准则 38

习题1.6 41

1.7　无穷小的比较 42

习题1.7 43

1.8　函数的连续性 44

1.8.1　函数的连续性 44

1.8.2　函数的间断点 46

1.8.3　连续函数的运算 47

1.8.4 闭区间上连续函数的性质 48

习题1.8 50

第1章综合练习题 52

第2章　一元函数微分学 54

2.1　导数的概念 54

2.1.1 导数概念的引出 54

2.1.2　导数的定义 57

2.1.3　可导性与连续性的关系 59

习题2.1 60

2.2　求导法则 61

2.2.1　求导数的几个简单法则 61

2.2.2　反函数的导数 64

2.2.3　复合函数的导数 66

习题2.2 69

2.3　单侧导数与无穷导数 70

2.3.1　单侧导数 70

2.3.2　无穷导数 73

习题2.3 74

2.4 高阶导数 75

习题2.4 78

2.5 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数 78

2.5.1　隐函数的导数 78

2.5.2　参数方程确定的函数的导数 81

习题2.5 82

2.6　微分 83

2.6.1　微分的定义 83

2.6.2　微分的基本公式与法则 85

2.6.3　微分是近似公式的来源 88

习题2.6 90

2.7　微分中值定理 91

习题2.7 95

2.8　泰勒公式 96

习题2.8 101

2.9　洛必达法则 102

2.9.1　0/0未定式 102

2.9.2　∞/∞未定式 104

2.9.3　其他形式的未定式 105

习题2.9 107

2.10　函数单调性与凸性的判别方法 108

2.10.1　函数单调性的判别法 108

2.10.2　函数的凸性及其判别法 111

习题2.10 115

2.11 函数的极值与最大、最小值 115

2.11.1 函数的极值及其求法 116

2.11.2　最大值与最小值问题 118

习题2.11 121

2.12　曲线的曲率 122

2.12.1　平面曲线的曲率概念 122

2.12.2　曲率公式 123

习题2.12 126

第2章综合练习题 126

第3章　一元函数积分学 128

3.1　不定积分的概念及其线性法则 129

3.1.1　原函数与不定积分的概念 129

3.1.2　基本积分表 130

3.1.3　不定积分的线性运算性质 131

习题3.1 134

3.2　不定积分的换元积分法 135

3.2.1　不定积分的第一类换元法 135

3.2.2　不定积分的第二类换元法 139

习题3.2 143

3.3　不定积分的分部积分法 144

习题3.3 148

3.4　有理函数的不定积分 149

习题3.4 154

3.5　定积分 155

3.5.1　定积分问题举例 155

3.5.2　定积分的定义 157

3.5.3　定积分的性质 160

习题3.5 163

3.6　微积分基本定理 164

3.6.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 164

3.6.2　积分上限的函数及其导数 165

3.6.3　牛顿－莱布尼兹公式 166

习题3.6 168

3.7　定积分的换元法与分部积分法 170

3.7.1　定积分的换元法 170

3.7.2　定积分的分部积分法 175

习题3.7 177

3.8　定积分在几何上的应用举例 178

3.8.1　平面图形的面积 179

3.8.2　体积 183

3.8.3　平面曲线的弧长 186

习题3.8 188

3.9　定积分的物理应用举例 190

3.9.1　变力沿直线所做的功 190

3.9.2　水压力 192

3.9.3 引力 193

习题3.9 194

3.10　反常积分 194

3.10.1　无穷限的反常积分 195

3.10.2　无界函数的反常积分 197

习题3.10 199

第3章综合练习题 200

第4章　微分方程 203

4.1　微分方程的基本概念 203

习题4.1 206

4.2　可分离变量的微分方程 207

习题4.2 210

4.3　一阶线性微分方程 211

习题4.3 215

4.4　可用变量代换法求解的一阶方程 216

4.4.1　齐次型方程 216

4.4.2　伯努利型方程 218

习题4.4 219

4.5　可降阶的二阶微分方程 219

4.5.1　y"=f(x)型的微分方程 220

4.5.2　y"=f(x,y')型的微分方程 220

4.5.3　y"=f(y,y')型的微分方程 221

习题4.5 222

4.6　二阶常系数齐次线性微分方程 223

习题4.6 227

4.7　二阶常系数非齐次线性微分方程 228

4.7.1　f(x)=pm(x)eλx 229

4.7.2 f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx] 231

习题4.7 234

第4章综合练习题 234

附录1　部分习题答案与提示 236

附录2　汉维名词对照 260

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