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第一章　Cauchy型积分 1

1.1　Cauchy型积分的意义 1

1.1.1　Cauchy型积分的定义 1

1.1.2　分区全纯函数 4

1.2　Plemelj公式 6

1.2.1　Cauchy主值积分 6

1.2.2　曲线上弧长与弦长的关系 9

1.2.3　H？lder条件 12

1.2.4　Cauchy主值积分存在的一个充分条件 17

1.2.5　Plemelj公式 18

1.3　Cauchy型积分边值的性质 22

1.3.1 Privalov定理 22

1.3.2　Cauchy型积分边值的导数 28

1.4　核密度中含有参数的Cauchy主值积分和积分换序问题 29

1.4.1　核密度带参数的Cauchy主值积分 29

1.4.2　积分换序问题 34

1.4.3　Cauchy主值积分反演公式 40

1.5　无穷直线上的Cauchy型积分 43

1.5.1　？类 43

1.5.2　实轴上的Cauchy型积分及其性质 44

1.6　解析函数边值的条件 47

1.6.1　全纯函数边值的条件 47

1.6.2　亚纯函数边值的条件 50

1.7　高阶奇异积分和留数定理的推广 52

1.7.1　Cauchy定理的推广 52

1.7.2　高阶奇异积分 54

1.7.3　留数定理的推广 58

第二章　封闭曲线情况下的基本边值问题 66

2.1　引言 66

2.1.1　Riemann边值问题的提法 66

2.1.2　跳跃问题及其解法 67

2.2　齐次Riemann边值问题 68

2.2.1　齐次R问题与指标概念 68

2.2.2　齐次R问题的解法——简单情况 69

2.2.3　典则函数 72

2.2.4　齐次R问题的解法——一般情况 72

2.3　非齐次Riemann边值问题 74

2.3.1　非齐次R问题的求解 74

2.3.2　相联R问题 76

2.4　无穷曲线上的Riemann边值问题 77

2.4.1　实轴上的R问题 77

2.4.2　几点说明 81

2.5　非正则型的Riemann边值问题 82

2.5.1　齐次问题 82

2.5.2　非齐次问题 83

2.6　Hilbert边值问题 86

2.6.1　问题的提法 86

2.6.2　单位圆内的函数在圆外的对称扩张 87

2.6.3　单位圆的H问题 88

2.6.4　半平面中的H问题 93

2.7　复合边值问题 97

2.7.1　复合边值问题的提法与转化 97

2.7.2　RH问题的求解 100

2.8　周期边值问题 103

2.8.1　周期Riemann边值问题的提法与转化 103

2.8.2　齐次PR问题 105

2.8.3　非齐次PR问题 109

2.8.4　周期Hilbert边值问题 114

2.9　双周期Riemann边值问题 118

2.9.1　椭圆函数 118

2.9.2　双周期Riemann边值问题的提法与跳跃问题的解法 120

2.9.3　一般DR边值问题的解法 122

2.10　双准周期的Riemann边值问题 126

2.10.1　双准周期解析函数 126

2.10.2　加法双准周期的R问题 128

2.10.3　乘法双准周期的R问题 129

2.11　双周期解析函数Dirichlet问题 134

2.11.1　双周期解析函数的积分表示式 134

2.11.2　双周期Dirichlet问题 137

2.12　双准周期解析函数Dirichlet问题 139

2.12.1　加法双准周期Dirichlet问题 139

2.12.2　乘法双准周期的齐次Dirichlet问题 144

2.12.3　乘法双准周期解析函数的积分表示式 147

2.12.4　乘法双准周期的非齐次Dirichlet问题 150

2.13　双周期解析函数的Hilbert问题 153

2.13.1　MQ正规化 153

2.13.2　双周期Hilbert边值问题 155

第三章　封闭曲线情况下的奇异积分方程 159

3.1　Cauchy核的奇异积分方程和奇异算子 159

3.1.1　一般概念 159

3.1.2　奇异算子的性质 161

3.2　特征方程及其相联方程的解法 162

3.2.1　特征方程的解法 162

3.2.2　特征方程的相联方程的解法 165

3.2.3　特征方程的Noether定理 166

3.3　奇异积分方程的正则化及一般的Noether定理 168

3.3.1　奇异积分方程的正则化 168

3.3.2　Noether定理 169

3.4　含周期核的奇异积分方程 171

3.4.1　Hilbert核的奇异积分方程 171

3.4.2　含ζ函数核的奇异积分方程 177

3.5　一类奇异积分方程的直接解法 181

3.5.1　引言 181

3.5.2　求解的一般方法 184

3.5.3　a（z）±b（z）无相同零点的正则型情况 187

3.5.4　a（z）±b（z）无相同零点的非正则型情况 190

3.5.5　a（z）±b（z）有相同零点的情况 196

3.5.6　一些应用 201

第四章　一般情况下的边值问题 204

4.1　Cauchy型积分在端点附近的性质 204

4.1.1　核密度属H类的情况 204

4.1.2　H＊类函数 207

4.1.3　核密度属H＊类时Cauchy型积分的性质 210

4.1.4　核密度属H＊类时Cauchy主值积分的性质 215

4.1.5　积分路径具有节点的情况 217

4.2　一般Riemann边值问题 218

4.2.1　开口弧段上的R问题 218

4.2.2　带节点曲线上的R问题 224

4.2.3　相联R问题 226

4.2.4　几种重要特殊情况 227

4.3　间断系数的Hilbert边值问题 231

4.3.1　单位圆情况 231

4.3.2　半平面情况 233

4.4　其他边值问题 237

4.4.1　一般复合边值问题 237

4.4.2　一般的PR问题 240

4.4.3　开口弧段的DR问题 244

4.4.4　开口弧段的QR问题 253

第五章　一般情况下的奇异积分方程 262

5.1　特征方程及其相联方程 262

5.1.1　特征方程 262

5.1.2　相联方程 265

5.1.3　一般Cauchy主值积分的反演 266

5.2　完全奇异积分方程 269

5.2.1　正则化问题 269

5.2.2　正则化方程的讨论 271

5.2.3　一般情况下的Noether定理 273

5.3　一般带周期核的奇异积分方程 279

5.3.1 曲线带节点的Hilbert核奇异积分方程 279

5.3.2　一般Hilbert核积分的反演 281

5.3.3　实轴上的Hilbert核积分的反演 290

5.3.4　修改的反演问题 294

5.3.5　开口弧段上带ζ函数核的奇异积分方程 301

5.4　方程具有一阶奇异性解的情况 305

5.4.1　Fredholm方程情况 305

5.4.2　Cauchy核奇异方程情况 307

5.4.3　特征方程及其相联方程的解 309

第六章　函数组的边值问题与奇异积分方程组 314

6.1 函数组的Riemann边值问题 314

6.1.1　一些记号与名称 314

6.1.2　齐次R问题化为Fredholm方程 316

6.1.3　齐次R问题的典则解组 318

6.1.4　齐次R问题的一般解与指标 325

6.1.5　函数组的相联齐次R问题 329

6.1.6　函数组的非齐次R问题 331

6.2 函数组的Hilbert边值问题和复合边值问题 334

6.2.1　典则矩阵的一般表示 334

6.2.2　函数组的齐次H问题 336

6.2.3　函数组的非齐次H问题 341

6.2.4　函数组的RH问题 342

6.3　奇异积分方程组 344

6.3.1　特征奇异积分方程组 344

6.3.2　特征方程的相联方程 347

6.3.3　完全奇异积分方程组及其正则化 349

6.3.4　奇异积分方程组的Noether定理 353

6.4　某些直接有效解法 355

6.4.1　有理系数矩阵的R问题 355

6.4.2　核与系数具解析性的奇异积分方程组 359

6.4.3　解析核密度的奇异积分的反演 361

第七章　其他问题 363

7.1 与某些分式线性变换群相联系的边值问题与奇异积分方程 363

7.1.1　分式线性变换群 363

7.1.2　与有限分式线性变换群有关的Riemann边值问题 366

7.1.3　与有限分式线性变换群有关的奇异积分方程 370

7.2　带位移的边值问题和奇异积分方程 374

7.2.1　带位移的Riemann边值问题 374

7.2.2　保形粘合定理以及SR问题转化为R问题 381

7.2.3　其他带位移的边值问题 386

7.2.4　带位移的奇异积分方程 393

7.3　卷积型线性方程组 395

7.3.1　Laurent变换 395

7.3.2　（A）型方程组 397

7.3.3　（B）型方程组 398

7.4　Cauchy主值积分的近似计算 399

7.4.1　奇点分离法 399

7.4.2　Gauss-Chebyshev型求积公式 401

7.4.3　用分段线性函数逼近Cauchy主值积分 403

7.5　带根号的边值问题 405

7.5.1　带根号的Riemann边值问题 405

7.5.2　应用于一种非线性奇异积分方程 409

7.5.3　带根号的Hilbert边值问题 413

7.5.4　开口弧上的带根号Riemann边值问题 416

7.6　解具高阶奇异性的Riemann边值问题及其应用 423

7.6.1　解具高阶奇异性的Riemann边值问题 423

7.6.2　应用于求解具一阶奇异性的特征奇异积分方程 429

附录　有关Fredholm积分方程的结果 433

1．Fredholm定理 433

2．预解核 435

3．推广 436

参考文献 438

索引 444

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