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前言 1

第一章 如何看图 1

圆=椭圆=正方形？ 5

允许按相似分类 7

斜一点的话 9

认识一下“伸与缩” 10

应该重视图形的哪部分？ 12

集中在一起 14

重要的东西是不能变的 18

另一种变形 20

第二章 让我们一起来转铅笔 25

缓坡与急坡 26

三度的角 28

三角形的内角和 30

小学里是怎么学的？ 31

转一下手中的铅笔吧 33

转半圈就是180゜ 36

星形图案的转动方法 38

也能转上好几圈 40

三角形与星形是一样的 42

在地球上画一条线 43

可以移动吗？ 45

第三章 论证与计算 49

计算量的减轻 50

几何=证明？ 52

发现是重要的 54

几何是对美的追求 56

勾股定理的证明 58

你认为线是什么？ 61

无理数的登场 64

改变了数学的无理数 67

第四章 证明的产生 69

飞行在空中的箭是停止的？! 70

悖论的主要成因 72

最初的证明 74

对经验主义的批判 76

被认为是正确的东西 78

出发点很重要 80

欧几里得真的存在吗？ 82

对欧几里得的评价 83

第五章 头脑的锻炼 85

五个出发点 86

越精炼越好 88

演绎的方法 91

圆与直线的几何 92

柏拉图的影响 94

上流阶层的必要修养 96

为了锻炼头脑 98

最大的难题是什么？ 100

工具的增加 102

奴隶制带来的难题 104

第六章 从直线与圆到圆锥曲线 107

阿基米德的看法 108

圆锥曲线的必然性 111

把圆锥切开 113

阿波罗尼乌斯的看法 115

什么是焦点？ 116

焦点的利用 119

把图形看成立体的 120

阿波罗尼乌斯的影响 121

海伦的消失 122

海伦公式深一层的意义 124

第七章 为何进入黑暗时代 129

休眠的时代？ 130

《原论》与黑暗时代的关系 133

混乱的大转移 137

对学者的迫害 140

经院派的任务 142

经院派的界限 144

欧几里得是阿拉伯人？ 147

全世界都是黑暗的吗？ 149

部分的黑暗 152

阿拉伯数字被禁止的理由 154

代数=“移项” 156

第八章 代数与几何的结合 159

文字式的引入 160

坐标的方便程度 162

曲线公式 164

费马与笛卡儿见解不同 166

欧洲与亚洲的结合 168

第九章 如何摆脱黑暗时代 173

以人为中心的主观主义 174

反经院派的成长背景 176

四大发明 178

四大发明的影响 181

射影=斜映？ 184

射影的利用 188

射影几何的影响 190

跳级的问题 194

第十章 欧几里得以外的几何 197

萨克里的看法 198

真可惜!萨克里 200

第五公设的否定 202

高斯的理论不敢发表 204

黑格尔的错误 206

哲学与数学 208

儿子的挑战 211

J.鲍耶的悲剧 213

罗巴切夫斯基的几何 215

第十一章 非欧几何的现实性 219

没有平行线的几何 220

三角形的内角和的变化 224

克莱因的模型 226

是近了还是远了？ 229

宇宙是非欧几里得的 232

第十二章 几何的复兴 237

几何变成了军事机密 238

橡皮膜的几何 241

一笔画的要点 242

欧拉标数 246

三体问题的思考方法 248

因笨手笨脚而产生的几何 252

爱尔兰根大学的就职演讲 256

重新看待克莱因的方法 259

没有表里的曲面 261

克莱因瓶 263

第十三章 形式主义和直观主义 265

什么是形式主义？ 266

三种看法 268

大学和浴室是相同的？ 270

哥德尔的冲击 272

关于未来 274

附录 277

附录1 切割线定理的证明 278

附录2 关于椭圆镜的性质 288

附录3 椭圆性质的证明 290

附录4 帕斯卡六边形定理的证明 294

后记 298

参考文献 299

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