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第一部分 预备知识 3

第一章 背景材料 3

1.1非线性问题的产生 3

1.1A微分几何提出的问题 3

1.1B数学物理提出的问题 10

Ⅰ经典数学物理 10

Ⅱ现代数学物理 14

1.1C变分学提出的问题 17

1.2遇到的典型困难 18

1.2A内在的困难 19

1.2B非内在的困难 22

1.3泛函分析的结论 26

1.3A Banach空间和Hilbert空间 26

1.3B 一些常用的Banach空间 28

1.3C 有界线性泛函与弱收敛 32

1.3D 紧性 33

1.3E 有界线性算子 35

1.3F 某些特殊类型的有界线性算子 38

1.4不等式和估计 43

1.4A 空间W1.p（Ω） （1≤p＜∞） 44

1.4B 空间Wm，p（RN）和Wm，p（Ω） 48

1.4C线性椭圆型微分算子的估计 49

1.5微分方程组的古典解和广义解 51

1.5A Wm，p中的弱解 52

1.5B半线性椭圆型方程组弱解的正则性 53

1.6有限维空间间的映射 56

1.6A Euclid空间间的映射 56

1.6B同伦不变性 59

1.6C同调和上同调不变量 62

注记 65

第二章 非线性算子 70

2.1微积分初步 70

2.1A有界性和连续性 70

2.1B积分 71

2.1C微分 76

2.1D多重线性算子 74

2.1E高阶导数 77

2.2具体的非线性算子 84

2.2A复合算子 84

2.2B微分算子 86

2.2C积分算子 88

2.2D微分算子的表达式 89

2.3解析算子 93

2.3A 等价定义 93

2.3B基本性质 98

2.4紧算子 99

2.4A等价定义 99

2.4B基本性质 101

2.4C紧微分算子 103

2.5梯度映射 105

2.5A等价定义 105

2.5B基本性质 107

2.5C特殊的梯度映射 109

2.6非线性Fredholm算子 101

2.6A等价定义 112

2.6B基本性质 113

2.6C Fredholm微分算子 113

2.7正常映射 114

2.7A 等价定义 114

2.7B基本性质 116

2.7C作为正常映射的微分算子 118

注记 120

第二部分 局部分析 125

第三章 单个映射的局部分析 125

3.1逐次逼近法 125

3.1A压缩映射原理 125

3.1B反函数定理和隐函数定理 127

3.1C Newton法 131

3.1D局部满射性的判别法 134

3.1E对常微分方程的应用 135

3.1F对等周问题的应用 139

3.1G对映射奇异性的应用 143

3.2梯度映射的最速下降法 146

3.2A对局部极小的连续下降法 147

3.2B等周变分问题的最速下降法 148

3.2C一般临界点的结果 150

3.2D一般光滑映射的最速下降法 153

3.3解析算子和强级数法 154

3.3A 一些启发 154

3.3B一个解析隐函数定理 155

3.3C复解析Fredholm算子的局部性质 157

3.4 广义反函数定理 158

3.4A一些启发 158

3.4B J.Moser的一个结果 160

3.4C光滑算子 163

3.4D局部共轭问题的反函数定理 165

注记 168

第四章 参数相依扰动现象 174

4.1分歧理论——一个构造性方法 174

4.1A 定义和基本问题 175

4.1B化成有限维问题 179

4.1C单重的情形 181

4.1D一个收敛的叠代格式 185

4.1E多重的情形 189

4.2分歧理论中的超越方法 192

4.2A一些启发 192

4.2B分歧理论中的Brouwer度 193

4.2C临界点理论初步 197

4.2D分歧理论中的Morse型数 201

4.3具体的分歧现象 204

4.3A 约束三体问题中平衡位置附近的周期运动 204

4.3B非线性弹性中的屈曲现象 208

4.3C Navier-Stokes方程的第二稳态流 216

4.3D紧复流形上复结构的分歧问题 222

4.4 渐近展开和奇异扰动 227

4.4A一些启发 229

4.4B形式渐近展开的合法性 236

4.4C对半线性Dirichlet问题（∏ε）的应用 236

4.5古典数学物理中的某些奇异扰动问题 243

4.5A瞬时力作用下非谐振荡的扰动 243

4.5B非线性弹性理论中的薄膜逼近 244

4.5C粘性流体中受扰动的Jeffrey-Hamel流 247

注记 251

第三部分 大范围分析 259

第五章 一般非线性算子的全局性理论 259

5.1线性化方法 259

5.1A整体同胚 260

5.1B 具奇异值的映射 269

5.2有穷维逼近 276

5.2A Galerkin逼近 276

5.2B对拟线性椭圆型方程的应用 280

5.2C取消强制性条件 282

5.2D梯度算子的Rayleigh-Ritz逼近 285

5.2E Navier-Stokes方程的稳态解 287

5.3同伦，映射度及其推广 290

5.3A 一些启发 290

5.3B连续映射的紧扰动 292

5.3C恒等算子的紧扰动和Leray-Schauder度 294

5.3D线性Fredholm映射的紧扰动和稳定同伦 305

5.3E零指标C2正常Fredholm算子的广义度 313

5.4 同伦和非线性算子的映射性质 317

5.4A 满射性 317

5.4B单叶性和同胚性质 319

5.4C 不动点定理 321

5.4D谱性质和非线性特征值问题 324

5.4E可解性的充要条件及其推论 330

5.4F 保锥算子的性质 334

5.5对非线性边值问题的应用 336

5.5A 拟线性椭圆型方程的Dirichlet问题 337

5.5BΔu+f（x，u）=0的 Dirichlet问题的正解 339

5.5C周期水波 340

5.5D自治系统周期运动的连续性 346

5.5E 强制半线性椭圆型边值问题有解的必要且充分条件 349

注记 351

第六章 梯度映射的临界点理论 356

6.1极小化问题 356

6.1A达到下确界 357

6.1B一个例子 362

6.1C和拟线性椭圆型方程有关的极小化问题 364

6.2几何学和物理学中某些极小化问题 373

6.2A常值负Hermite曲率的Hermite度量 373

6.2B非线性弹性理论中的稳定平衡状态 379

6.2C Plateau问题 382

6.2D Euclid量子场论中的动力学不稳定性 385

6.3等周问题 387

6.3A梯度映射的非线性特征值问题 388

6.3B半线性梯度算子方程的可解性 396

6.4 几何学和物理学中的等周问题 403

6.4A非线性Hamilton方程的大振幅周期解族 403

6.4B具零Euler-Poincare特征的紧2维流形的Riemann结构，该结构有指定的Gauss曲率 408

6.4C指定纯量曲率的Riemann流形 411

6.4D S2上指定Gauss曲率的保角度量 414

6.4E一个全局性自由边界问题——理想流体中的持久稳态旋涡环 416

6.5 Hilbert空间中的M.Morse临界点理论 423

6.5A最速下降法的改进 423

6.5B退化和非退化临界点 425

6.5C Morse型数 428

6.5D Morse不等式 433

6.5E说明 435

6.6 Ljusternik-Schnirclmann临界点理论 439

6.6A一些启发 439

6.6B极小极大原则 440

6.6C Ljusternik-Schnirelm ann畴数 444

6.6D对非线性特征值问题的应用 446

6.7一般临界点理论的应用 451

6.7A对梯度映射分歧理论的应用 451

6.7B和梯度映射有关的算子方程的多重解 455

6.7C柔软弹性板的整体平衡状态 457

6.7D某些非线性波方程的驻状态 462

6.7E紧Riemann流形上两点间的短程线 465

注记 467

附录A 微分流形 471

附录B 微分形式的Hodge-Kodaira分解 476

参考文献 479

参考文献（补充） 489

内容索引 496

译后记 503

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