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第一章 函数的极限与连续 1

第一节 函数 1

一、函数的概念 1

二、函数的表示法与分段函数 2

三、函数的几种特性 3

四、反函数、复合函数 3

五、基本初等函数、初等函数 5

习题1-1 7

第二节 函数的极限 8

一、数列的极限 8

二、函数极限的概念 10

三、函数极限的性质 13

习题1-2 14

第三节 无穷小与无穷大 14

一、无穷小的概念 14

二、无穷小的性质 14

三、无穷大 15

四、无穷小与无穷大的关系 15

五、无穷小的比较 16

习题1-3 16

第四节 极限的运算法则 17

习题1-4 19

第五节 极限存在准则、两个重要极限 20

一、极限存在准则 20

二、两个重要极限 21

习题1-5 24

第六节 函数的连续性 24

一、函数连续的概念 24

二、函数的间断点及其分类 26

三、连续函数的运算与初等函数的连续性 27

四、闭区间上连续函数的性质 29

习题1-6 30

第七节 求极限的几种方法及其应用 31

一、利用初等函数的连续性求极限 31

二、利用等价无穷小替换求极限 32

三、求极限的其他方法 33

习题1-7 33

总习题一 34

第二章 导数与微分 37

第一节 导数的概念 37

一、引例 37

二、导数的概念 38

三、函数可导与连续的关系 40

四、导数的几何意义 41

习题2-1 42

第二节 函数的求导法则与高阶导数 42

一、函数四则运算的求导法则 42

二、反函数的求导法则 43

三、基本初等函数的导数公式表 44

四、复合函数的求导法则 44

五、分段函数的导数 46

六、高阶导数 47

习题2-2 48

第三节 隐函数与参数函数的导数 48

一、隐函数的导数 48

二、取（自然）对数求导法 49

三、参数函数的导数 50

习题2-3 51

第四节 函数的微分 52

一、微分的概念 52

二、微分的几何意义 53

三、微分公式与微分运算法则 54

四、微分形式的不变性 55

五、微分在近似计算中的应用 55

习题2-4 57

总习题二 57

第三章 导数的应用 60

第一节 微分中值定理 60

一、罗尔中值定理 60

二、拉格朗日中值定理 61

三、柯西中值定理 64

四、泰勒中值定理 65

习题3-1 67

第二节 洛必达法则 67

一、0/0型或∞/∞型未定式的情形 67

二、其他类型的未定式的情形 69

三、洛必达法则失效的情形 70

习题3-2 71

第三节 函数的单调性及其判别法 71

习题3-3 73

第四节 函数的极值及其应用 74

一、函数的极值及其判别法 74

二、函数的最大值、最小值的求法 76

习题3-4 78

第五节 曲线的凹凸性与拐点 78

习题3-5 81

第六节 函数图形的描绘 81

一、曲线的渐近线 81

二、描绘函数图形的步骤 83

习题3-6 84

第七节 弧微分与曲率 85

一、弧微分 85

二、曲率 85

三、曲率圆与曲率半径 87

习题3-7 87

第八节 边际函数与弹性函数简介 88

一、边际函数 88

二、弹性函数 89

习题3-8 91

总习题三 91

第四章 不定积分 95

第一节 不定积分的概念与性质 95

一、原函数与不定积分 95

二、不定积分的性质 96

三、基本积分表 97

习题4-1 98

第二节 换元积分法 98

一、第一类换元积分法 98

二、第二类换元积分法 102

习题4-2 105

第三节 分部积分法 105

习题4-3 108

第四节 有理函数的积分 109

一、有理函数的积分 109

二、可化为有理函数的积分举例 110

习题4-4 112

总习题四 112

第五章 定积分及其应用 114

第一节 定积分的概念与性质 114

一、引例 114

二、定积分的概念 116

三、定积分的基本性质 118

习题5-1 120

第二节 微积分基本定理 120

一、积分上限函数及其导数 121

二、微积分基本定理 122

习题5-2 124

第三节 定积分的换元积分法与分部积分法 125

一、定积分的换元积分法 125

二、定积分的分部积分法 127

习题5-3 128

第四节 定积分的应用 129

一、微元分析法 129

二、几何应用 130

三、物理应用 136

四、其他应用举例 138

习题5-4 138

第五节 反常积分 139

一、无穷区间上的反常积分 139

二、无界函数的反常积分（瑕积分） 141

三、Γ函数 143

习题5-5 144

总习题五 144

第六章 多元函数微分学及其应用 147

第一节 空间解析几何简介 147

一、空间直角坐标系 147

二、曲面及其方程 148

三、空间曲线在坐标面上的投影 154

习题6-1 155

第二节 多元函数的基本概念 155

一、区域 155

二、多元函数的概念 156

三、二元函数的极限 157

四、二元函数的连续性 158

习题6-2 161

第三节 偏导数与全微分 161

一、偏导数 161

二、全微分 164

习题6-3 167

第四节 多元复合函数与隐函数的求导法则 167

一、多元复合函数的求导法则 167

二、隐函数的求导法则 171

习题6-4 173

第五节 多元函数的极值及其应用 174

一、二元函数的极值 174

二、条件极值 176

三、最大值、最小值及其应用 177

习题6-5 179

总习题六 179

第七章 二重积分及其应用 184

第一节 二重积分的概念与性质 184

一、二重积分的概念 184

二、二重积分的性质 186

习题7-1 187

第二节 二重积分的计算 188

一、利用直角坐标计算二重积分 188

二、利用极坐标计算二重积分 192

习题7-2 196

第三节 二重积分的应用 197

一、用二重积分求立体的体积 197

二、用二重积分求曲面的面积 198

三、二重积分的物理应用举例 199

习题7-3 200

总习题七 200

第八章 微分方程与差分方程简介 203

第一节 微分方程的概念 203

一、引例 203

二、微分方程的基本概念 204

习题8-1 205

第二节 一阶微分方程 206

一、可分离变量的微分方程 206

二、一阶线性微分方程 207

三、伯努利方程 210

习题8-2 211

第三节 可降阶的高阶微分方程 211

一、y(n)=f（x）型的高阶微分方程 211

二、y″=f（x,y′）型的微分方程 212

三、y″=f（y,y′）型的微分方程 213

习题8-3 214

第四节 二阶常系数线性微分方程 214

一、通解的结构 215

二、二阶常系数线性齐次微分方程 216

三、二阶常系数线性非齐次微分方程 218

习题8-4 221

第五节 差分与差分方程的基本概念 221

一、差分的概念与性质 221

二、差分方程的基本概念 222

习题8-5 223

第六节 常系数线性差分方程 223

一、线性差分方程解的性质 223

二、一阶常系数线性差分方程 224

三、二阶常系数线性差分方程 225

习题8-6 226

总习题八 226

第九章 无穷级数 229

第一节 常数项级数及其收敛性的判别法 229

一、常数项级数的基本概念 229

二、常数项级数的基本性质 231

三、正项级数收敛性的判别法 232

四、交错级数收敛性的判别法 236

五、绝对收敛与条件收敛 237

习题9-1 238

第二节 幂级数 239

一、函数项级数的一般概念 239

二、幂级数及其收敛性 239

三、幂级数的运算性质 242

四、函数展开成幂级数 245

五、幂级数在近似计算中的应用 248

习题9-2 249

总习题九 250

第十章 数学建模初步 253

第一节 数学模型与数学建模简介 253

一、数学模型与数学建模 253

二、数学建模的一般方法与步骤 253

第二节 数学建模实例 255

一、横渡江河问题 255

二、生物群体增殖问题 257

三、建筑打桩问题 257

四、追踪模型 258

习题10-2 259

附录A 部分初等数学公式 260

附录B 极坐标系及几种常用曲线 262

附录C 积分表 267

习题参考答案与提示 276

参考文献 292

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