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第一部分 高等数学 3

第一章 函数、极限与连续 3

1 知识要点精讲 3

2 重要公式与结论 16

3 典型题型与例题分析 18

题型一 函数关系的建立 18

题型二 考查函数的特性 19

题型三 求函数极限 20

题型四 求数列极限 28

题型五 求解含参变量的极限 32

题型六 已知极限，求待定参数、函数值、导数及函数 33

题型七 无穷小比较 35

题型八 判断函数的连续性与间断点的类型 36

题型九 确定方程f(x)=0的根 38

题型十 综合题 39

习题精选一 41

习题精选一参考答案与提示 43

第二章 导数与微分 44

1 知识要点精讲 44

2 重要公式与结论 50

3 典型题型与例题分析 51

题型一 利用导数定义解题 51

题型二 求分段函数的导数 54

题型三 导数在几何上的应用 56

题型四 变限积分求导 59

题型五 利用导数公式与运算法则求导 62

题型六 综合题 65

习题精选二 67

习题精选二参考答案与提示 69

第三章 微分中值定理与导数的应用 71

1 知识要点精讲 71

2 典型题型与例题分析 80

题型一 证明存在ξ，使f（ξ）＝0 80

题型二 证明存在ξ，使f（n）（ξ）＝0（n=1,2，…） 82

题型三 证明存在ξ，使G（ξ，f（ξ），f′（ξ），…）＝0 84

题型四 直接用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明 87

题型五 双介值问题，要证存在ξ，η使G（f′（ξ），f′（η），…）＝0 89

题型六 证明存在ξ，使得f（n）（ξ）＝k（k≠0） 90

题型七 有关介值的不等式证明 91

题型八 隐含介值问题 92

题型九 不等式的证明 94

题型十 利用导数证明函数恒等式 104

题型十一 利用导数判别函数的单调性 105

题型十二 利用导数研究函数的极值与最值 106

题型十三 曲线的凹凸性与拐点 107

题型十四 求曲线的渐近线 108

题型十五 函数作图 108

题型十六 求曲率与曲率半径 110

题型十七 综合题 110

习题精选三 112

习题精选三参考答案与提示 114

第四章 一元函数积分学 116

1 知识要点精讲 116

2 重要公式与结论 134

3 典型题型与例题分析 135

题型一 计算不定积分 135

题型二 不定积分综合题 139

题型三 有关定积分的概念与性质的问题 143

题型四 利用基本方法（牛顿-莱布尼茨公式，换元积分法，分部积分法）计算定积分 145

题型五 对称区间上的积分 149

题型六 涉及变限积分的问题 150

题型七 定积分循环计算法 154

题型八 几类特殊积分问题 154

题型九 反常（广义）积分的计算 158

题型十 定积分等式的证明 161

题型十一 定积分不等式的证明 163

题型十二 定积分的几何（物理）应用 166

题型十三 综合题 170

习题精选四 175

习题精选四参考答案 178

第五章 向量代数与空间解析几何 180

1 知识要点精讲及主要公式与结论 180

2 典型题型与例题分析 185

题型一 与向量代数有关的计算问题 185

题型二 求平面与直线方程 185

题型三 讨论平面与直线的位置关系 187

题型四 求对称点、投影点及投影曲线 188

题型五 综合题 189

习题精选五 190

习题精选五参考答案 190

第六章 多元函数微分学 191

1 知识要点精讲及主要公式与结论 191

2 典型题型与例题分析 198

题型一 基本概念题 198

题型二 求复合函数的偏导数或全微分 201

题型三 求隐函数的偏导数或全微分 202

题型四 已知偏导数，反求函数关系 205

题型五 多元函数的极值和最值问题 206

题型六 求多元函数的梯度或方向导数 211

题型七 多元函数微分学的几何应用 212

题型八 综合题 213

习题精选六 214

习题精选六参考答案 216

第七章 重积分 217

1 知识要点精讲 217

2 重要公式与结论 223

3 典型题型与例题分析 224

题型一 考查二重积分的基本概念与性质 224

题型二 二重积分的基本计算方法 225

题型三 利用重积分的对称性简化计算 228

题型四 交换积分次序 229

题型五 分区域函数的二重积分 230

题型六 反常（广义）二重积分 232

题型七 直角坐标系下计算三重积分（适用于方形区域） 233

题型八 利用“先二后一”法（适用于旋转体类型的区域） 233

题型九 利用柱面坐标（适用于区域含柱形体的情形） 234

题型十 利用球面坐标（适用于区域含球形的情形） 234

题型十一 综合题 234

习题精选七 238

习题精选七参考答案与提示 240

第八章 曲线、曲面积分 241

1 知识要点精讲 241

2 重要公式与结论 247

3 典型题型与例题分析 249

题型一 对弧长的曲线积分的计算方法 249

题型二 对坐标的曲线积分的计算方法 250

题型三 对面积的曲面积分的计算方法 254

题型四 对坐标的曲面积分的计算方法 255

题型五 求曲面的面积 259

题型六 求向量场的散度及旋度 260

题型七 综合题 261

习题精选八 263

习题精选八参考答案与提示 265

第九章 无穷级数 267

1 知识要点精讲 267

2 重要公式与结论 274

3 典型题型与例题分析 275

题型一 判定常数项级数的收敛性 275

题型二 求函数项级数的收敛域、幂级数的收敛半径和收敛区间 278

题型三 求常数项级数的和及函数项级数的和函数 281

题型四 幂级数的展开 282

题型五 傅里叶级数的展开 284

题型六 综合题 285

习题精选九 287

习题精选九参考答案与提示 289

第十章 常微分方程 290

1 知识要点精讲 290

2 基本方法 298

3 典型题型与例题分析 300

题型一 可化为一阶线性微分方程的求解及全微分方程求解 300

题型二 可化为变量可分离微分方程的求解 302

题型三 可降阶的高阶微分方程 304

题型四 高阶线性微分方程和可化为二阶常系数线性微分方程的求解 305

题型五 综合题与应用题 307

习题精选十 312

习题精选十参考答案与提示 314

第二部分 线性代数 319

第一章 行列式 319

1 知识要点精讲 319

2 难点、疑点解析及重要公式与结论 322

3 典型题型与例题分析 325

题型一 利用行列式的性质与行（列）展开定理计算行列式 325

题型二 按行（列）展开公式求代数余子式 326

题型三 利用多项式分解因式计算行列式 327

题型四 抽象行列式的计算或证明 327

题型五 n阶行列式的计算 329

题型六 利用特征值计算行列式 334

题型七 综合题 335

习题精选一 336

习题精选一参考答案 338

第二章 矩阵 342

1 知识要点精讲 342

2 难点、疑点解析及重要公式与结论 349

3 典型题型与例题分析 352

题型一 求数值型矩阵的逆矩阵 352

题型二 A为抽象矩阵，讨论A的可逆性 355

题型三 考查矩阵运算的特殊性 356

题型四 解矩阵方程 358

题型五 求方阵A的高次幂An 360

题型六 利用伴随矩阵A＊进行计算或证明 361

题型七 有关初等矩阵的问题 363

题型八 求矩阵的秩 364

题型九 综合题 366

习题精选二 367

习题精选二参考答案 369

第三章 向量 373

1 知识要点精讲 373

2 难点、疑点解析及重要公式与结论 382

3 典型题型与例题分析 384

题型一 判定向量组的线性相关性 384

题型二 把一个向量用一组向量线性表示 389

题型三 求向量组的秩 394

题型四 有关矩阵秩的命题 396

题型五 有关向量空间的基本概念题 397

题型六 综合题 398

习题精选三 400

习题精选三参考答案 402

第四章 线性方程组 404

1 知识要点精讲 404

2 难点、疑点解析及重要公式与结论 409

3 典型题型与例题分析 410

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构） 410

题型二 含有参数的线性方程组的求解 412

题型三 抽象线性方程组求解 419

题型四 讨论两个方程组的公共解 421

题型五 讨论两个方程组解之间的关系 424

题型六 已知方程组的解，反求系数矩阵或系数矩阵中的参数 425

题型七 有关基础解系的讨论 427

题型八 有关AB=0的应用 429

题型九 综合题 430

习题精选四 436

习题精选四参考答案 438

第五章 特征值与特征向量 442

1 知识要点精讲 442

2 难点、疑点解析及重要公式与结论 447

3 典型题型与例题分析 449

题型一 数值型矩阵特征值、特征向量的计算 449

题型二 计算抽象矩阵的特征值 451

题型三 特征值、特征向量的逆问题 454

题型四 矩形相似与对角化的讨论 457

题型五 有关实对称矩阵的命题 462

题型六 特征值、特征向量与相似矩阵的应用问题 464

题型七 有关特征值、特征向量的证明问题 468

题型八 综合题 469

习题精选五 474

习题精选五参考答案 476

第六章 二次型 479

1 知识要点精讲 479

2 难点、疑点解析及重要公式与结论 485

3 典型题型与例题分析 486

题型一 基本概念题（二次型的矩阵、秩、正负惯性指数） 486

题型二 化二次型为标准形 487

题型三 有关正定二次型（正定矩阵）命题的证明 491

题型四 综合题 495

习题精选六 498

习题精选六参考答案 499

第三部分 概率论与数理统计第一章 随机事件与概率 503

1 知识要点精讲 503

2 补充注释与重要结论 507

3 典型题型与例题分析 510

题型一 事件的表示和运算 510

题型二 有关概率基本性质的命题 511

题型三 古典概型与几何概型的概率计算 513

题型四 事件独立性的命题 516

题型五 条件概率与积事件概率的计算 519

题型六 全概率公式和贝叶斯公式概型 522

题型七 伯努利试验 525

题型八 综合题 526

习题精选一 528

习题精选一参考答案 530

第二章 随机变量及其分布 533

1 知识要点精讲 533

2 补充注释与重要结论 536

3 典型题型与例题分析 538

题型一 有关随机变量与分布的基本概念题 538

题型二 求随机变量的分布律与分布函数 541

题型三 已知事件发生的概率，反求事件中的未知参数 547

题型四 利用常见分布求相关事件的概率 548

题型五 求随机变量函数的分布 550

题型六 综合题 554

习题精选二 556

习题精选二参考答案 558

第三章 多维随机变量及其分布 560

1 知识要点精讲 560

2 补充注释与重要结论 564

3 典型题型与例题分析 566

题型一 联合分布、边缘分布与条件分布的计算 566

题型二 已知部分分布律或边缘分布，求联合分布律或相关参数 572

题型三 利用已知分布求相关事件的概率 573

题型四 随机变量函数的分布 574

题型五 随机变量的独立性的讨论 580

题型六 综合题 581

习题精选三 583

习题精选三参考答案 585

第四章 随机变量的数字特征 588

1 知识要点精讲 588

2 补充注释与重要结论 591

3 典型题型与例题分析 592

题型一 期望和方差的计算 592

题型二 随机变量函数的数学期望与方差 595

题型三 有关协方差、相关系数、独立性与相关性的命题 601

题型四 有关数字特征的应用题 606

题型五 综合题 608

习题精选四 610

习题精选四参考答案 611

第五章 大数定律和中心极限定理 613

1 知识要点精讲 613

2 典型题型与例题分析 615

题型一 有关切比雪夫不等式的命题 615

题型二 有关大数定律的命题 616

题型三 有关中心极限定理的命题 617

题型四 综合题 621

习题精选五 621

习题精选五参考答案 623

第六章 数理统计的基本概念 624

1 知识要点精讲 624

2 补充注释与重要结论 629

3 典型题型与例题分析 630

题型一 求样本容量n，或与样本均值？和样本方差S2有关的概率 630

题型二 求统计量的数字特征 631

题型三 求统计量的分布 633

习题精选六 635

习题精选六参考答案 636

第七章 参数估计 637

1 知识要点精讲 637

2 补充注释与重要结论 640

3 典型题型与例题分析 640

题型一 求矩法估计和最大似然估计 640

题型二 估计量评选标准的讨论 646

题型三 参数的区间估计 650

题型四 综合题 651

习题精选七 652

习题精选七参考答案 654

第八章 假设检验 655

1 知识要点精讲 655

2 补充注释与重要结论 656

3 典型题型与例题分析 657

题型一 正态总体未知参数的假设检验 657

题型二 有关两类错误的命题 658

习题精选八 659

习题精选八参考答案 660

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