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绪论 非线性现象 1

0.1 从线性到非线性 1

0.2 生态系统中的非线性现象 2

0.3 非线性化学振荡 6

0.4 单摆的非线性特性 9

0.5 非线性物理的基础——非线性动力学的发展 11

第1章 研究非线性物理系统的方法 14

1.1 相平面和不动点 16

1.1.1 不动点的分类 16

1.1.2 不动点的稳定性 17

1.2 庞加莱映射 23

1.3 李雅普诺夫稳定性和结构稳定性 26

1.3.1 李雅普诺夫意义下的稳定（稳定性理论） 27

1.3.2 结构稳定性 28

1.4 中心流形 29

1.4.1 状态空间的划分 29

1.4.2 不动点稳定性的判别 31

1.4.3 不动点的中心流形方法 32

1.5 近似方法 38

1.5.1 自治系统的KBM方法 38

1.5.2 非自治系统的KBM方法 40

第2章 物理学中的非线性振荡和混沌吸引子 43

2.1 非线性等离子体振荡 43

2.2 非线性共振 47

2.2.1 线性共振 47

2.2.2 非线性共振 50

2.2.3 自激系统 52

2.2.4 周期吸引子 53

2.3 混沌吸引子 56

2.3.1 抽象动力学基础 56

2.3.2 伯克霍夫-肖吸引子 58

2.3.3 非线性恢复力系统 65

2.3.4 于达混沌吸引子 72

2.3.5 非平稳态非线性受迫振荡 74

2.3.6 勒斯勒尔吸引子 77

第3章 分形 83

3.1 分形维的计算 83

3.2 康托尔集 87

3.3 增殖过程 89

3.4 布朗运动和分形 91

3.5 时间分形记录 95

3.6 自相似和自仿射 97

3.7 分形面 100

3.7.1 随机平移面 101

3.7.2 分形面的产生 101

3.7.3 分子分形面及分形面的观察 103

3.8 自然界中的分形 104

3.8.1 岛屿的分形 104

3.8.2 云的分形维 106

第4章 从分岔到混沌 108

4.1 流的分岔 108

4.1.1 不动点的局部分岔 109

4.1.2 环的局部分岔 120

4.1.3 连续分岔和不连续分岔 122

4.1.4 大范围分岔 124

4.2 突变 135

4.2.1 基本突变集 135

4.2.2 汤姆突变理论 137

4.2.3 塞曼突变机构 141

4.3 映射的分岔 144

4.3.1 一维映射的稳定性 145

4.3.2 一维映射的分岔 147

4.3.3 二维映射的稳定性 155

4.3.4 二维映射的分岔 160

4.4 映射的混沌行为 161

4.4.1 一维映射 162

4.4.2 一维映射的分岔与混沌 164

4.4.3 二维映射的分岔与混沌 176

4.5 复映射 181

4.5.1 复平面上的多项式映射 181

4.5.2 周期点 183

4.5.3 茹利亚集 184

4.5.4 芒德波罗集 190

4.6 混沌的实验观察 195

4.6.1 别洛乌索夫-扎博京斯基反应 195

4.6.2 瑞利-贝纳尔对流和库埃特-泰勒系统 198

4.7 混沌吸引子的分岔 201

4.7.1 倍周期 201

4.7.2 阵发 201

4.7.3 滞后与不可捉摸突变 204

4.7.4 双参数控制的分岔 206

4.8 混沌系统的控制 208

4.8.1 嵌入方法 209

4.8.2 控制 210

第5章 物理学中的分岔与混沌 212

5.1 非线性流 212

5.1.1 线性三阶方程 212

5.1.2 非线性流 214

5.2 洛伦茨吸引子 215

5.2.1 洛伦茨方程 216

5.2.2 对流的不稳定性 221

5.2.3 洛伦茨混沌吸引子 222

5.2.4 洛伦茨混沌吸引子的形成 224

5.2.5 复洛伦茨模型 228

5.3 波场中粒子运动的非线性现象 234

5.3.1 储存环中的物理现象 234

5.3.2 数学模型 235

5.3.3 KAM定理，共振和阿诺德扩散 236

5.3.4 标准映射 240

5.4 量子混沌 243

5.4.1 能级间距分布 243

5.4.2 能级排斥 244

5.4.3 能级间距的分形分布 245

第6章 孤立子与逆散射变换 246

6.1 KdV方程的基本性质 247

6.1.1 非线性效应和色散 247

6.1.2 行波解 249

6.1.3 守恒 250

6.1.4 缪拉变换 251

6.2 逆散射变换原理 253

6.2.1 和量子力学的联系 253

6.2.2 傅里叶变换 254

6.2.3 直接散射问题 255

6.2.4 逆散射问题 256

6.3 逆散射变换，KdV方程的一般解 257

6.3.1 KdV方程的一般解 257

6.3.2 逆散射变换 260

6.4 孤立子解 262

6.4.1 单孤立子解 264

6.4.2 双孤立子解 264

6.4.3 一般解 266

6.4.4 正弦戈登方程 267

6.4.5 非线性薛定谔方程 269

6.4.6 腊克斯对 271

6.5 贝克隆德变换 272

第7章 耦合映射与元胞自动机 277

7.1 耦合映射 277

7.1.1 图灵耦合映射 278

7.1.2 稳定性 278

7.1.3 初始条件 284

7.1.4 不同参数时的空-时图形 284

7.2 元胞自动机 286

7.2.1 基本元胞自动机 287

7.2.2 一般元胞自动机 295

7.2.3 一维元胞自动机的熵 301

7.3 序和自组织 306

7.3.1 复杂性 306

7.3.2 序 308

7.3.3 自组织 310

附录 315

A.1 非线性系统的稳定性判别 315

A.2 霍奇金-赫胥黎方程 317

A.3 某些一阶非线性微分方程的解 318

A.4 某些非线性差分方程的解 320

A.5 离散卷积 326

A.6 周期卷积 327

A.7 四次代数方程的解 328

习题 329

非线性物理学英汉人名对照表 337

参考文献 340

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