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目录第一章消元法和行列式 1

§1消元法 1

1.1线性方程组和消元法的基本思想 1

1.2消元法 4

§2n阶行列式的定义 21

2.1排列及其逆序数（21）2.2n阶行列式的定义 24

§3n阶行列式的性质 29

3.1n阶行列式的基本性质（29）3.2按一行（列）展开（34）3.3行列式的计算 37

§4克莱姆规则 49

4.1克莱姆规则（49）4.2齐次情形 55

第二章线性方程组理论 60

§5n元向量 60

5.1导引（60）5.2n元向量及其运算 62

§6n元向量的线性相关性 66

6.1线性组合（66）6.2线性相关（69）6.3线性组合与线性相关的关系（72）6.4极大无关组与秩 74

§7矩阵的秩 80

7.1矩阵的秩及其与矩阵的子行列式的关系（80）7.2用初等变换求矩阵的秩 84

§8线性方程组的解 90

8.1解的判定（90）8.2三元一次方程组的解 96

§9线性方程组解的结构 101

9.1基础解系（102） 9.2非齐次线性方程组解的结构 105

第三章矩阵 109

§10矩阵的运算 109

10.1矩阵的线性运算（109） 10.2矩阵的乘法（110） 10.3可逆矩阵 116

10.4矩阵的转置与运算 120

§11初等矩阵 124

11.1初等矩阵（124）11.2初等矩阵与可逆矩阵（127）11.3矩阵的等价 130

§12矩阵的分块 136

12.1分块的运算（136） 12.2用分块矩阵讨论线性方程组 143

第四章二次型 149

§13化二次型为平方和 150

13.1用配方法化二次型为平方和（150） 13.2通过矩阵和初等变换化二次型为平方和（152） 13.3对称矩阵的合同 162

§14复二次型和实二次型 164

14.1复二次型（164）14.2实二次型 165

§15正定二次型 170

15.1正定二次型的定义（170）15.2正定二次型的判定 171

第五章基本概念 179

§16集与映射 180

16.1集的概念和运算（180） 16.2映射 183

§17运算 189

17.1运算的定义（189）17.2结合律和交换律（191）17.3单位元和逆元 194

17.4映射的合成 197

§18关系和等价关系 203

18.1关系（203）18.2等价关系 206

§19环 211

第六章环与域 211

19.1环的定义和例（211）19.2环的简单性质（216） 19.3单位元与逆元 219

19.4子环 220

§20几种特殊的环 225

20.1整环（226）20.2除环（229）20.3域 231

§21商环和理想 238

21.1商环（238）21.2理想 244

§22环的同构与同态 247

22.1环的同构（247）22.2环§23素理想与极大理想 ？23.1素理想（261）23.2极大理想 263

§24分式域 266

24.1挖补定理（266）24.2分式域 270

§25有序环与有序域 276

25.1有序集（276）25.2有序环与有序域 279

第七章数系 287

§26 自然数系 287

26.1自然数的基本性质（287） 26.2 自然数的序，数学归纳法 291

§27整数环 295

27.1整数环的存在和唯一性（295） 27.2整数环的序 299

§28有理数域和复数域 303

28.1有理数域（304）28.2复数域 305

§29皮亚诺公理 310

29.1自然数的皮亚诺公理（311）29.2自然数集的唯一性 314

第八章 多项式环和因子分解 319

§30环R上的一元多项式环 319

30.1一元多项式环的基本概念（319） 30.2带余除法（322） 30.3多项式的值和多项式的根 325

§31域上一元多项式环的整除性及因子分解 331

31.1整除的概念和基本性质（331）31.2因式分解（333）31.3因式分解定理的作用（338）31.4辗转相除法 343

§32重因式 351

32.1重因式（351）32.2重根 353

§33几个常见域上一元多项式的因式分解 355

33.1复数域和实数域上一元多项式的因式分解（355） 33.2有限域上一元多项式的因式分解 358

§34整环的整除性及因子分解 359

34.1整除的概念和基本性质（360）34.2唯一分解整环（362）34.3欧氏整环和主理想整环 364

§35整环上一元多项式环的整除性及因式分解 369

35.1 I［x］与F［x］在整除性上的异同（369） 35.2唯一分解整环上的一元多项式环（371）35.3有理数域上一元多项式的因式分解 376

§36多元多项式环 381

36.1多元多项式的基本概念和基本性质（381） 36.2对称多项式 385

第九章群 391

§37交换群的定义和性质 391

37.1定义和简单性质（391） 37.2子群（395） 37.3加群的商群 397

37.4加群的同构和同态 399

§38循环群 403

38.1循环群的定义和例（403）38.2循环群的子群与商群 405

§39有限加群 407

39.1和与直和（407）39.2有限加群的结构 411

§40加群的自同态环 419

40.1加群的自同态环（419）40.2循环群的自同态环 422

§41群的定义和性质 424

41.1定义和简单性质（424）41.2子群 428

§42变换群 430

42.1变换群（430）42.2置换群 434

§43商群和正规子群 443

43.1商群（443）43.2正规子群 448

第十章 向量空间与线性变换 457

§44向量空间 457

44.1向量空间的定义和基本性质（457）44.2基变换与坐标变换 464

44.3向量空间的同构 469

§45向量空间的子空间 474

45.1定义及判别（474）45.2和与直和（477）45.3商空间 483

§46线性变换 486

46.1线性变换的定义和性质（486） 46.2线性变换代数（489）46.3线性变换与矩阵 492

§47矩阵的相似标准形 505

47.1矩阵的相似（505）47.2不变子空间（508）47.3特征根与特征向量 511

47.4具有对角形矩阵的线性变换（516）47.5若当标准形 523

第十一章欧氏空间与正交变换 533

§48欧氏空间的基本概念 533

48.1 欧氏空间的定义与基本性质（533）48.2向量的长度、夹角与距离 536

48.3欧氏空间的内积与正定矩阵 538

§49标准正交基 542

49.1正交化方法（542）49.2欧氏空间的同构（544）49.3正交矩阵 545

§50子空间的正交直和 547

50.1正交子空间（547）50.2最小二乘问题 550

§51正交变换 553

51.1正交变换的定义与性质（554）51.2正交矩阵的标准形 557

§52对称变换 564

52.1对称变换的定义与性质（564） 52.2实对称矩阵的相似合同标准形 565

52.3主轴问题 571

§53 U空间与内积空间 576

53.1 U空间（576） 53.2内积空间 579

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