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第一章 行列式 1

§1 n阶行列式 1

1.1 数域 1

1.2 二阶、三阶行列式的结构 2

1.3 n阶行列式 6

§2 行列式的性质和计算 9

2.1 行列的互换性质 10

2.3 行列式的加法性质 12

2.2 数乘行列式的性质 12

2.4 行列式的计算举例 15

§3 展开定理 21

3.1 按行列展开定理 22

3.2 Laplace定理 27

§4 Cramer定理 31

4.1 Cramer定理 31

4.2 应用例子 34

1.1 n维向量及其线性计算 37

§1 n维向量的线性关系 37

第二章 线性方程组 37

1.2 向量的线性相关与线性无关 38

1.3 矩阵和矩阵的秩 43

1.4 向量组线性相关和线性无关的判别定理 47

1.5 最大线性无关向量组 51

§2 矩阵的初等变换 54

2.1 矩阵的行初等变换 55

2.3 在初等变换下的标准形 57

2.2 矩阵的初等变换 57

§3 齐次线性方程组 67

3．1 同解方程组的概念及其命题 67

3．2 关于齐次线性方程组的命题 70

3．3 解的结构定理 75

§4 非齐次线性方程组 82

4．1 有解的充要条件 82

4.2 非齐次线性方程组的解 83

4.3 解的结构定理 88

1.1 矩阵的线性运算 96

第三章 矩阵及其在初等变换下的标准形 96

§l 矩阵的运算 96

1.2 矩阵的乘法 98

1.3 行列式的乘法规则 101

1.4 短阵的运算与矩阵的秩 104

§2 逆矩阵 108

2.1 逆矩阵及其求法 108

2.2 逆矩阵的基本性质 112

2.3 用初等变换求逆矩阵的方法 114

3.1 分块矩阵的概念 121

§3 分块矩阵 121

3.2 分块矩阵的乘法 123

3.3 分块初等矩阵 125

3.4 分块矩阵法的应用举例 126

§4 几种特殊的矩阵 130

4.1 对角形矩阵和三角形矩阵 130

4.2 对称矩阵和反对称矩阵 134

4.3 正交矩阵 136

5.1 标准形 139

§5 在初等变换下矩阵的标准形 139

5.2 标准形的用法 140

第四章 对称矩阵在合同变换下的标准形与二次型 143

§1 实对称矩阵在合同变换下的标准形 143

1.1 例子 143

1.2 矩阵间的合同关系及其性质 146

1.3 对称矩阵在合同变换下的标准形 146

1.4 求合同变换矩阵P的方法 150

1.5 惯性定律与实对称矩阵在合同变换下的标准形 152

§2 化二次型为平方和的方法 160

2.1 二次型 160

2.2 二次型的矩阵表示 162

2.3 在满秩线性变换下化二次型为平方和 163

2.4 用配方方法化二次型为平方和 165

§3 实二次型的分类和判别 169

3.1 惯性定律和二次型的标准形 169

3.2 二次型的分类和判别 172

3.3 (半)正定、(半)负定和不定矩阵 179

第五章 方阵的相似标准形及其应用 182

§1 矩阵的特征值与特征向量 182

1.1 矩阵的特征值与特征向量 182

1.2 特征值和特征向量的一些性质 187

1.3 Schmidt正交化方法 191

§2 在相似变换下化方阵为对角形矩阵的条件 196

2.1 相似矩阵及其性质 196

2.2 相似对角形矩阵的主对角元素和相似变换矩阵 197

2.3 在相似变换下方阵化为对角形矩阵的条件 198

§3 在相似变换下方阵的标准形 211

3.1 实对称矩阵的标准形 211

3.2 正交矩阵的标准形 220

3.3 与方阵相似的上三角形矩阵 225

§4 相似变换下方阵标准形的应用 230

4.1 在解决综合性问题方面的应用 230

4.2 在解常系数齐次线性方程组方面的应用 233

1.1 λ-矩阵的概念 243

§1 λ-矩阵及其在等价变换下的标准形 243

第六章 矩阵的Jordan标准型 243

1.2 λ-矩阵的等价关系 245

1.3 λ-矩阵的等价对角形矩阵 246

l.4 行列式因子与λ-矩阵的标准形 250

§2 λ-矩阵等价、方阵相似的充要条件 255

2.1 λ-矩阵可逆、λ-矩阵等价的充要条件 255

2.2 初等因子与λ-矩阵等价的充要条件 256

2.3 初等因子的求法 258

2.4 矩阵相似的充要条件 265

§3 矩阵的Jordan标准形 268

3.l 矩阵的Jordan标准形 268

3.2 矩阵的有理标准形 275

3.3 相似变换矩阵的求法 278

§4 Hamilton-Cayley定理及其应用 282

4.1 Hamilton-Cayley定理 282

4.2 最小多项式及其求法 284

4.3 矩阵与对角形矩阵相似的充要条件 289

1.1 线性空间的概念 291

§1 线性空间 291

第七章 线性空间和线性变换 291

1.2 线性空间的一些简单性质 293

1.3 子空间的概念及其判别 294

§2 有限维线性空间 300

2.1 有限维线性空间的维数和基底 300

2.2 子空间的基底和维数 304

2.3 坐标和坐标变换 306

2.4 线性空间中的同构关系 310

3.1 线性变换及其基本性质 315

§3 线性空间上的线性变换 315

3.2 象子空间和核 317

3.3 线性变换的运算 321

§4 线性变换与矩阵的对应 325

4.1 线性变换与矩阵的对应 325

4.2 线性变换对应的矩阵随基底的变化 332

4.3 线性变换的特征值与特征向量 333

1.1 实内积空间的定义及其基本性质 340

§l 实内积空间 340

第八章 内积空间 340

1.2 度量矩阵 342

1.3 Cauchy-Schwartz不等式 344

1.4 正交子空间 346

§2 标准正交基底 349

2.1 标准正交基底 349

2.2 标准正交基下的度量关系 350

3.1 正交变换 353

§3 正交变换 353

3.2 正交变换的判别和运算 354

3.3 正交变换的几何意义 358

§4 复内积空间 360

4.1 复内积空间 361

4.2 度量矩阵和厄密矩阵 362

4.3 长度和角度 362

4.4 标准正交基底 363

4.5 酉交变换和酉交矩阵 363

答案与提示 365

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