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第零章 导引 1

0.1.直线 1

0.2.圆 2

0.3.尼尔抛物线 3

0.4.牛顿结点曲线 4

0.5.笛卡儿叶形线 6

0.6.摆线 7

0.7.克莱因四次曲线 9

0.8.连续曲线 10

第一章 仿射代数曲线及其方程 13

1.1.方程的簇 13

1.2.仿射代数曲线 14

1.3.施图迪引理 15

1.4.分解分支 17

1.5.不可约性和连通性 18

1.6.极小多项式 18

1.7.次数 19

1.8.与直线的交点 20

第二章 射影闭包 23

2.1.无穷远点 23

2.2.射影平面 23

2.3.曲线的射影闭包 25

2.4.分解为分支 27

2.5.曲线与直线的相交重数 28

2.6.两条曲线的相交 30

2.7.贝祖定理 31

第三章 切线和奇点 35

3.1.光滑点 35

3.2.奇点集 36

3.3.局部阶 37

3.4.在奇点的切线 40

3.5.阶与相交重数 44

3.6.欧拉公式 45

3.7.通过定点的曲线 47

3.8.奇点的个数 48

第四章 配极曲线和黑塞曲线 51

4.1.配极曲线 51

4.2.配极曲线的性质 55

4.3.曲线和它的配极曲线的交 56

4.4.黑塞曲线 57

4.5.曲线与它的黑塞曲线的交 59

4.6.例子 61

第五章 对偶曲线和普吕克公式 65

5.1.对偶曲线 65

5.2.对偶曲线的代数性 72

5.3.对偶曲线的不可约性 73

5.4.局部数值不变量 76

5.5.二重对偶曲线 77

5.6.简单二重点和尖点 78

5.7.普吕克公式 81

5.8.例子 82

5.9.普吕克公式的证明 83

第六章 收敛幂级数环 89

6.1.整体和局部不可约性 89

6.2.幂级数公式 90

6.3.收敛的幂级数 93

6.4.巴拿赫代数 94

6.5.幂级数的变量替换 97

6.6.特殊的变量 99

6.7.魏尔斯特拉斯预备定理 102

6.8.证明 104

6.9.隐函数定理 109

6.10.亨泽尔引理 111

6.11.幂级数环中的除法 113

6.12.解析集的芽 116

6.13.施图迪引理 117

6.14.局部分支 118

第七章 用皮瑟级数对曲线分支参数化 121

7.1.问题的提出 121

7.2.皮瑟级数定理 122

7.3.幂级数的载形 123

7.4.拟齐次初始多项式 125

7.5.迭代的步骤 127

7.6.迭代 129

7.7.形式参数表示 131

7.8.皮瑟定理（几何形式） 133

7.9.证明 134

7.10.解的变形 138

7.11.皮瑟级数的收敛性 139

7.12.魏尔斯特拉斯多项式的线性因子分解 141

第八章 曲线芽的切线和相交重数 145

8.1.曲线芽的切线 145

8.2.在光滑点和奇点的切线 147

8.3.与一条直线的局部相交重数 148

8.4.与一个不可约芽的局部相交重数 153

8.5.曲线芽的局部相交重数 155

8.6.相交重数和阶 157

8.7.局部与整体相交重数 157

第九章 代数曲线的黎曼面 161

9.1.黎曼面 161

9.2.举例 163

9.3.代数曲线的奇点消解 166

9.4.证明 168

9.5.曲线的连通性 173

9.6.黎曼-胡尔维茨公式 173

9.7.光滑曲线的亏格公式 175

9.8.普吕克曲线的亏格公式 177

9.9.诺特亏格公式 178

附录一结式 181

A.1.1.结式与公共零点 181

A.1.2.判别式 183

A.1.3.齐次多项式的结式 184

A.1.4.结式和线性因子 185

附录二覆叠映射 189

A.2.1.定义 189

A.2.2.逆紧映射 191

A.2.3.道路提升 192

附录三隐函数定理 193

附录四牛顿多边形 199

A.4.1.幂级数的牛顿多边形 199

A.4.2.魏尔斯特拉斯多项式的牛顿多边形 201

附录五奇点曲线的一个数值不变量 205

A.5.1.奇点的解析等价 205

A.5.2.奇点的次数 205

A.5.3.广义类公式 210

A.5.4.广义亏格公式 211

A.5.5.次和阶 212

A.5.6.例子 214

附录六哈纳克不等式 217

A.6.1.实代数曲线 217

A.6.2.连通分支和次数 218

A.6.3.系数在Z/2Z中的同调群 221

参考文献 223

索引 227

符号表 233

译后记 235

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