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第1章 函数极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 函数关系 1

1.1.2 函数记号 3

1.1.3 函数定义域 4

1.1.4 分段函数 5

1.1.5 函数的几种简单性质 6

1.1.6 反函数与复合函数 8

1.1.7 初等函数 10

习题1-1 13

1.2 极限 14

1.2.1 数列的极限 14

1.2.2 函数的极限 16

习题1-2 18

1.3 无穷大量与无穷小量 19

1.3.1 无穷大量 19

1.3.2 无穷小量 21

1.3.3 无穷大量与无穷小量的关系 22

1.3.4 无穷小量的阶 22

习题1-3 22

1.4 极限的运算 23

1.4.1 极限的四则运算 23

1.4.2 两个重要极限 26

1.4.3 等价无穷小代换 28

习题1-4 29

1.5 函数的连续性 30

1.5.1 函数的改变量（或称函数的增量） 30

1.5.2 连续函数的概念 30

1.5.3 函数的间断点 31

1.5.4 连续函数的运算法则 32

习题1-5 33

本章总结 34

复习题1 35

拓展空间：函数概念和极限概念的起源 38

第2章 导数与微分 40

2.1 导数的概念 40

2.1.1 变化率问题举例 40

2.1.2 导数的定义 41

2.1.3 求导举例 43

2.1.3 导数的意义 45

2.1.4 可导与连续的关系 46

习题2-1 47

2.2 导数的基本公式与运算法则 47

2.2.1 导数的基本公式 47

2.2.2 导数的四则运算法则 48

2.2.3 复合函数的导数 49

2.2.4 高阶导数 50

习题2-2 51

2.3 微分 52

2.3.1 微分的定义 52

2.3.2 微分的几何意义 54

2.3.3 微分的基本公式和微分法则 54

2.3.4 微分形式的不变性 55

2.3.5 微分的应用 56

习题2-3 57

2.4 函数的单调性、极值、最值 58

2.4.1 函数的单调性 58

2.4.2 函数的极值 60

2.4.3 最大值与最小值 64

习题2-4 66

本章总结 66

复习题2 67

拓展空间：导数和微分的起源 69

第3章 不定积分 71

3.1 不定积分的概念和性质 71

3.1.1 原函数和不定积分的概念 71

3.1.2 积分的基本公式和运算法则 74

3.1.3 不定积分的几何意义 77

习题3-1 78

3.2 不定积分的换元积分法 78

3.2.1 第一类换元积分法（凑微分法） 79

3.2.2 第二类换元积分法（去根号法） 82

习题3-2 85

3.3 分部积分法 85

习题3-3 88

本章总结 88

复习题3 89

拓展空间：数学人物——牛顿与莱布尼兹 91

第4章 定积分 93

4.1 定积分的概念 93

4.1.1 引出定积分概念的例题 93

4.1.2 定积分的定义 95

4.1.3 定积分的几何意义 97

4.1.4 定积分的性质 98

习题4-1 98

4.2 定积分的计算 99

4.2.1 牛顿-莱布尼兹公式 99

4.2.2 定积分的换元积分法 101

4.2.3 定积分的分部积分法 103

习题4-2 104

4.3 定积分的应用 104

4.3.1 微元法 105

4.3.2 直角坐标系下平面图形的面积 106

4.3.3 旋转体体积 107

4.3.4 变力沿直线所作的功 108

习题4-3 109

4.4 广义积分 109

4.4.1 无限区间上的广义积分 109

4.4.2 无界函数的广义积分 112

习题4-4 113

本章总结 114

复习题4 115

拓展空间：积分的起源 117

第5章 常微分方程 118

5.1 微分方程的基本概念 118

习题5-1 121

5.2 一阶微分方程 121

5.2.1 可分离变量的微分方程 122

5.2.2 齐次微分方程 125

5.2.3 一阶线性微分方程 127

习题5-2 129

5.3 二阶常系数线性微分方程 130

5.3.1 二阶常系数齐次线性微分方程 130

5.3.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 134

习题5-3 138

本章总结 138

复习题5 139

拓展空间：微分方程的起源 140

第6章 空间解析几何与向量代数 142

6.1 空间直角坐标系 142

6.1.1 空间直角坐标系的概念 142

6.1.2 空间点的坐标 143

6.1.3 空间两点间距离 143

习题6-1 144

6.2 向量的加减法与向量的数乘 144

6.2.1 向量及其基本概念 144

6.2.2 向量的加减法与数乘 145

习题6-2 146

6.3 向量的坐标 146

6.3.1 向量的坐标表达式 146

6.3.2 利用坐标作向量的加、减、数乘 147

6.3.3 利用坐标表示向量的模及方向 148

习题6-3 149

6.4 向量的数量积与向量积 149

6.4.1 两向量的数量积 149

6.4.2 两向量的向量积 151

习题6-4 152

6.5 平面方程 153

6.5.1 平面的点法式方程及一般方程 153

6.5.2 两平面的位置关系 155

习题6-5 156

6.6 空间直线方程 156

6.6.1 空间直线的方程 156

6.6.2 两直线的位置关系 158

6.6.3 直线与平面的位置关系 159

习题6-6 160

6.7 二次曲面与空间曲线 161

6.7.1 常见曲面的方程与图形 161

6.7.2 空间曲线方程 164

习题6-7 165

本章总结 165

复习题6 167

拓展空间：解析几何的创始人——笛卡儿 169

附录A 部分习题参考答案 170

参考文献 182

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