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第一章 函数及其图形 1

第一节　集合 1

一、集合的概念 1

二、集合的运算 3

习题1-1 4

第二节 函数 5

一、常量与变量 5

二、函数的概念 6

三、函数的表示法 7

四、隐函数 8

五、反函数 8

习题1-2 9

第三节　函数的几种特性 10

一、函数的有界性 10

二、函数的单调性 10

三、函数的奇偶性 11

四、函数的周期性 12

习题1-3 12

第四节　初等函数 12

一、基本初等函数 12

二、复合函数 15

三、初等函数 15

习题1-4 15

第五节　建立函数关系式举例 17

习题1-5 19

总复习题一（A） 19

总复习题一（B） 21

第二章　极限与连续 24

第一节　极限的概念 24

一、函数的极限 24

二、极限的性质 27

习题2-1 27

第二节　无穷小量与无穷大量 27

一、无穷小量 27

二、无穷大量 28

三、无穷小与无穷大的关系 29

习题2-2 29

第三节　两个重要极限 29

一、第一个重要极限 29

二、第二个重要极限 30

习题2-3 31

第四节　极限的四则运算法则 31

一、极限的四则运算 31

二、无穷小的比较 33

习题2-4 34

第五节　函数的连续性与间断点 34

一、函数的连续性 34

二、函数的间断点及其分类 37

习题2-5 38

第六节　连续函数的运算与初等函数的连续性 40

一、连续函数的四则运算 40

二、复合函数的连续性 40

三、反函数的连续性 40

四、初等函数的连续性 41

习题2-6 41

第七节 闭区间上连续函数的性质 42

一、最大值和最小值定理 42

二、介值定理 43

习题2-7 44

总复习题二（A） 45

总复习题二（B） 46

第三章　导数与微分 48

第一节　导数的概念 48

一、引例 48

二、导数的定义与几何意义 49

三、函数的可导性与连续性的关系 53

习题3-1 54

第二节　函数的和、差、积、商的求导法则 55

一、函数和的求导法则 55

二、函数积的求导法则 56

三、函数商的求导法则 57

习题3-2 58

第三节　反函数与复合函数的导数 59

一、反函数的导数 59

二、复合函数的导数 61

习题3-3 63

第四节 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数 64

一、隐函数的导数 64

二、由参数方程确定的函数的导数 67

三、初等函数的导数 69

习题3-4 70

第五节　高阶导数 71

习题3-5 74

第六节　微分及其应用 75

一、微分的定义和几何意义 75

二、微分运算法则 77

三、微分在近似计算中的应用 79

习题3-6 81

总复习题三（A） 83

总复习题三（B） 84

第四章 中值定理与导数的应用 86

第一节　中值定理 86

一、罗尔（Rolle）中值定理 86

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 86

三、柯西（Cauchy）中值定理 88

习题4-1 88

第二节　洛必达（L'Hospital）法则 89

一、0/0型和∞/∞型未定式 89

二、其他类型的未定式 90

习题4-2 92

第三节 函数单调性、凹凸性和拐点 92

一、函数单调性 92

二、函数的凹凸性和拐点 94

习题4-3 95

第四节　函数的极值与最值 96

一、函数的极值 96

二、函数的最值 98

习题4-4 100

第五节 函数图形的描绘 101

一、曲线的渐近线 101

二、函数图形的描绘 101

习题4-5 102

总复习题四（A） 103

总复习题四（B） 104

第五章　不定积分 106

第一节　不定积分的概念与性质 106

一、原函数与不定积分 106

二、不定积分的几何意义 107

三、基本积分公式 108

四、不定积分的性质 109

习题5-1 111

第二节　换元积分法 112

一、第一类换元积分法 112

二、第二类换元积分法 116

习题5-2 118

第三节　分部积分法 119

习题5-3 123

第四节　两类初等可积函数的积分 123

一、有理函数的积分 123

二、三角函数有理式的积分 126

习题5-4 127

总复习题五（A） 128

总复习题五（B） 129

第六章　定积分及其应用 131

第一节　定积分的概念与性质 131

一、实例分析 131

二、定积分的概念 133

三、定积分的性质 136

习题6-1 138

第二节　微积分基本定理 139

一、积分上限的函数及其导数 140

二、牛顿—莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式 142

习题6-2 143

第三节　定积分的换元积分法和分部积分法 144

一、定积分的换元积分法 145

二、定积分的分部积分法 147

三、定积分的几个常用公式 148

习题6-3 150

第四节　定积分的应用 151

一、定积分应用的微元法 151

二、求平面图形的面积 152

三、体积 155

四、平面曲线的弧长 157

五、变力沿直线所做的功 158

习题6-4 160

第五节　广义积分 161

一、无穷区间上的广义积分 161

二、无界函数的广义积分 163

习题6-5 165

总复习题六（A） 165

总复习题六（B） 167

第七章 常微分方程 170

第一节　微分方程的基本概念 170

一、微分方程的基本概念 170

二、线性相关性 171

习题7-1 171

第二节　可分离变量的微分方程 172

一、可分离变量的微分方程 172

二、齐次方程 174

习题7-2 176

第三节　一阶线性微分方程 177

习题7-3 180

第四节　可降阶的高阶微分方程 180

一、y（n）=f（x）型的微分方程 180

二、y″=f（x,y′）型的微分方程 181

三、y″=f（y,y′）型的微分方程 182

习题7-4 183

第五节　二阶常系数齐次线性微分方程 184

一、二阶常系数齐次线性微分方程的概念及其性质 184

二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法 184

习题7-5 187

第六节　二阶常系数非齐次线性微分方程 188

一、二阶常系数非齐次线性微分方程的性质 188

二、f（x）=eλxPm（x）型的解法 188

三、f（x）=Acos wx+Bsin wx型的解法 190

习题7-6 191

总复习题七（A） 192

总复习题七（B） 193

第八章 向量代数与空间解析几何 195

第一节　向量及其线性运算 195

一、空间直角坐标系 195

二、向量与向量的线性运算 196

三、向量的坐标表示式 199

习题8-1 202

第二节　向量的乘法运算 203

一、向量的数量积 203

二、向量的向量积 205

习题8-2 208

第三节　平面与直线 208

一、点的轨迹方程的概念 208

二、平面 209

三、直线 212

四、平面、直线间的夹角 214

五、点到平面的距离 215

习题8-3 216

第四节 曲面与曲线 217

一、几种常见的曲面及其方程 217

二、二次曲面 220

三、曲线 222

习题8-4 224

总复习题八（A） 225

总复习题八（B） 226

第九章 多元函数微分学 228

第一节　多元函数 228

一、区域 228

二、二元函数 229

习题9-1 232

第二节　偏导数 232

一、多元函数偏导数 232

二、高阶偏导数 235

习题9-2 237

第三节　全微分 237

一、全微分 237

二、全微分在近似计算中的应用举例 239

习题9-3 240

第四节　复合函数的求导法则 240

一、多元复合函数的求导法则 240

二、隐函数的求导法 244

习题9-4 245

第五节　偏导数在几何上的应用 246

一、空间曲线的切线与法平面 246

二、曲面的切平面与法线 247

习题9-5 249

第六节　多元函数极值 249

一、极值与最大值和最小值 249

二、条件极值 252

习题9-6 253

总复习题九（A） 253

总复习题九（B） 255

第十章 多元函数积分学 257

第一节　二重积分 257

一、二重积分的概念 257

二、二重积分的性质 258

习题10-1 260

第二节　二重积分的计算法 260

一、利用直角坐标计算二重积分 260

二、利用极坐标计算二重积分 266

习题10-2 269

第三节　二重积分应用举例 270

一、体积 270

二、曲面的面积 270

三、质量与重心 272

习题10-3 273

第四节　平面曲线积分 274

一、对弧长的曲线积分 274

二、对坐标的曲线积分 276

习题10-4 280

总复习题十（A） 281

总复习题十（B） 282

第十一章　无穷级数 284

第一节　常数项级数的概念与基本性质 284

一、数项级数的概念 284

二、无穷级数的基本性质 285

习题11-1 287

第二节　正项级数及其敛散性 288

一、基本定理 288

二、正项级数及其敛散性判别法 288

习题11-2 291

第三节　绝对收敛与条件收敛 292

一、交错级数及其敛散性判别法 292

二、绝对收敛与条件收敛 293

习题11-3 293

第四节　幂级数 294

一、幂级数的概念 294

二、幂级数的运算 296

习题11-4 298

第五节　函数展开成幂级数 298

一、泰勒（Taylot）级数 298

二、幂级数展开式在近似计算上的应用 302

习题11-5 303

总复习题十一（A） 303

总复习题十一（B） 305

附录Ⅰ 数学实验与数学建模 307

附录Ⅱ 初等数学中的常用公式 319

学习提要及要求 322

习题答案与提示 329

参考文献 364

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