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教师导学 1

数学素质与数学竞赛（代序） 1

基础阶梯 7

第一讲 初等数学概述 7

1．集合与函数 7

2．初等函数 9

3．不等式 12

4．复数 17

5．多项式与高次方程 20

6．排列组合与二项式定理 26

7．数列 30

8．立体几何 36

9．初等数学若干解题技术 50

提高阶梯 60

第二讲 初等几何问题 60

1．初等几何著名定理 60

（1）Menelaus定理 60

（2）Ceva定理 61

（3）Simson定理 62

（4）Ptolemy定理 63

（5）Erd？s定理 64

（6）Euler定理 65

2．初等几何重要例题 66

3．初等几何题谱 139

第三讲 序列、递归和迭代问题 174

1．从菲波那奇（Fibonacci）序列谈起 174

2．经验归纳法与数学归纳法联施求解递归方程 175

3．递归方程的代数解法 180

4．函数迭代及其周期性 184

5．数学中的两个著名迭代 187

（1）伯努利（Bernoulli）移位迭代 187

（2）抛物线与三角帐篷迭代 189

6．序列、递归和迭代题谱 192

第四讲 组合问题 215

1．排列、组合和加法乘法原理 215

（1）加法原理 215

（2）乘法原理 215

（3）无重复的排列与组合 216

（4）元素可重复的排列与组合 217

2．容斥原理与错位排列 220

（1）集合的德·摩根（De Morgan）律和容斥原理 220

（2）错位排列 222

3．抽屉原理 223

4．母函数与整数分拆 227

5．组合题谱 230

第五讲 初等数论问题 253

1．整数除法和算术基本定理 254

（1）素数与带余除法 254

（2）最大公因数与最小公倍数 256

（3）算术基本定理 258

2．不定方程 260

3．同余 262

（1）同余的概念 262

（2）一次同余式与中国剩余定理 263

（3）剩余系，Euler定理和Fermat小定理 265

4．初等数论重要例题 266

5．初等数论题谱 295

第六讲 图论问题 308

1．图的基本概念 308

2．树 310

3．图上遍历 312

4．平面图及其Euler公式 315

5．图上匹配 317

6．图上着色 319

7．有向图与竞赛图 322

8．图论重要例题 325

9．图论赛题题谱 339

第七讲 反证法 362

1．反证原理 362

2．反证法与第三次数学危机 363

3．反证法题谱 366

第八讲 数学归纳法 389

1．数学归纳原理 389

2．第二数学归纳法与Catalan数 391

3．跷跷板归纳法 394

4．数学归纳法递推步骤的常用技巧 395

（1）从P（k+1）返回P（k）完成递推步骤 395

（2）把原命题的结论变强以便用数学归纳法 396

（3）大跨度归纳与反向归纳 397

5．数学归纳法题谱 410

卷末寄语 423

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