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第1章 集合与点集 1

1.1 集合及其运算 1

1.1.1 集合的基本概念 1

1.1.2 集合的运算 2

1.1.3 集的分解 6

1.1.4 笛卡尔乘积集 7

1.1.5 域 8

1.1.6 集列的极限 9

习题1.1 12

1.2 映射与基数 14

1.2.1 映射的概念 14

1.2.2 对等 17

1.2.3 数的进位制简介 18

1.2.4 伯恩斯坦定理 21

1.2.5 有限集、无限集及基数 22

习题1.2 23

阅读材料1 24

1.3 可数集合 25

1.3.1 可数集的定义 25

1.3.2 可数集的性质 25

习题1.3 30

阅读材料2 30

1.4 不可数集合 31

习题1.4 35

第2章 n维空间中的点集 37

2.1 聚点、内点、边界点、Bolzano-Weierstrass定理 39

习题2.1 42

2.2 开集、闭集与完备集 44

2.2.1 稠密与疏朗 44

2.2.2 开集、闭集 44

2.2.3 开覆盖、紧集 48

2.2.4 完备集 49

2.2.5 Borel集 52

2.2.6 点集上的连续函数 53

习题2.2 54

2.3 一维开集、闭集、完备集的结构 56

习题2.3 60

2.4 点集间的距离 60

习题2.4 62

第3章 测度论 63

3.1 开集的体积 66

习题3.1 69

3.2 点集的外测度 70

3.2.1 外测度的定义 70

3.2.2 外测度的性质 72

3.2.3 内测度 76

习题3.2 76

3.3 可测集及测度 77

3.3.1 可测集的定义 77

3.3.2 可测集的运算 79

3.3.3 可测集列的极限 83

3.3.4 Lebesgue（勒贝格）可测集的结构 85

3.3.5 勒贝格测度的平移、旋转不变性 88

3.3.6 不可测集 89

习题3.3 90

3.4 乘积空间 93

习题3.4 98

第4章 可测函数 99

4.1 可测函数的定义及其简单性质 100

4.1.1 勒贝格可测函数的定义 100

4.1.2 勒贝格可测函数的性质 103

4.1.3 勒贝格可测函数列的极限 106

4.1.4 复合函数的可测性 110

习题4.1 110

4.2 可测函数的逼近定理 112

4.2.1 Egoroff（叶果洛夫）定理 112

4.2.2 Lusin（鲁津）定理 115

4.2.3 依测度收敛 120

习题4.2 124

第5章 积分理论 127

5.1 非负函数的积分 127

5.1.1 测度有限的集上有界可测函数的积分 127

5.1.2 测度有限的集上一般函数的积分 133

5.1.3 测度无限的集上的Lebesgue积分 135

5.1.4 非负可测函数积分的几何意义 135

5.1.5 积分的极限定理 136

习题5.1 138

5.2 可积函数 140

习题5.2 155

5.3 重积分与累次积分的关系 158

5.3.1 非负广义实值可测函数情形 158

5.3.2 可积函数情形 160

习题5.3 165

5.4 微分与不定积分 166

5.4.1 单调函数 167

5.4.2 有界变差函数 175

5.4.3 绝对连续函数 184

习题5.4 191

第6章 Lp空间及抽象测度与积分 194

6.1 Lp空间 194

6.1.1 Lp空间的定义与不等式 194

6.1.2 Lp空间的结构 200

习题6.1 205

6.2 L2内积空间 207

6.2.1 内积正交系 207

6.2.2 广义Fourier级数 208

6.2.3 L2（E）中的线性无关组 210

习题6.2 213

6.3 抽象测度与积分 214

6.3.1 集合环上的测度及扩张 214

6.3.2 可测函数及其积分 216

习题解析 220

附录：各章知识点概要 289

参考文献 300

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