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1 上位数学知识研究 3

1.1 上位数学知识解读 3

1.1.1 圆周长概念的解读 3

如何给圆周长下定义？ 3

为什么“滚动法”可以测量圆周长？ 4

1.1.2 圆周率概念的解读 6

如何给圆周率下定义？ 6

为什么圆周率是一个常数？ 7

圆周率π是一个怎样的常数？ 8

如何认识π精确度的价值？ 10

圆周率与弧度制之间有什么关系？ 12

1.1.3 研究圆周率的主要方法 13

1.1.4 如何用实验法探索圆周率 18

测量直径长度的常用方法有哪些？ 18

测量圆周长的常用方法有哪些？ 20

如何认识和减少测量误差？ 20

如何利用回归分析求圆周率？ 23

1.1.5 圆周长计算公式的主要应用 27

怎样计算圆的周长？ 27

怎样计算半圆面的周长？ 28

圆周长的应用问题情境模型有哪些？ 28

如何理解转圈悖论？ 30

1.2 上位数学知识对教学的启示 33

1.2.1 圆周率的研究历史对教学的启示 33

1.2.2 圆周长的认识与计算的教学困难 34

1.2.3 如何探索圆周率？ 34

如何让学生感知周长与直径的增函数关系？ 34

如何让学生认识周长与直径的正比例关系？ 35

如何让学生理解“滚动法”可测圆周长？ 36

如何减少测量中的误差？ 37

如何让学生体会逼近思想？ 37

1.2.4 如何处理近似计算与用“＝”表示的矛盾？ 38

1.3 教师容易表达错误或不确切的语言 39

2 课程标准（教学大纲）要求比较研究 39

2.1 课程标准（教学大纲）中相关教学内容要求的演变 50

2.1.1 教学内容进入小学数学教育几经沉浮 50

未进入：1902—1922年颁布的四个相关文件 50

似进入：1923年颁布的课程标准 51

未进入：1929年颁布的课程标准 52

进入：1932—1941年颁布的三个课程标准 53

退出：1948—1956年颁布的四个课程标准（教学大纲） 53

再进入：1963年至今的九个课程标准（教学大纲） 55

2.1.2 教学内容要求的演变 58

教学要求的提法有什么变化？ 58

描述教学要求的行为动词有什么变化？ 58

教学内容的具体要求有什么变化？ 60

2.2 教学内容要求的演变带来的启示 62

2.2.1 如何不断探索“大众数学”之路？ 62

2.2.2 如何不断细化、完善育人目标？ 63

2.3 2011年课程标准基本精神的研究落实 63

2.3.1 如何根据课程目标探索教材教学？ 64

2.3.2 如何根据课程理念探索教材教学？ 65

2.3.3 如何根据能力培养要求探索教材教学？ 67

3 教材比较研究 67

3.1 纵向比较：同种教材编写特点比较 76

3.1.1 人教版教材编写的沿革特点 76

年级安排、呈现方式与教材结构 77

课题引入与新知探究 79

公式的给出与应用 83

3.1.2 刘静和、张天孝主编教材的编写沿革特点 87

年级安排、呈现方式与教材结构 87

课题引入与新知探究 89

公式的给出与应用 93

3.2 横向比较：同期教材编写特点比较 96

3.2.1 1980年代教材编写特点比较 96

3.2.2 1990年代教材编写特点比较 98

年级安排、呈现方式与教材结构 99

课题引入与新知探究 100

公式的给出与应用 102

3.2.3 2000年后教材编写特点比较 105

年级安排、呈现方式与教材结构 105

课题引入与新知探究 108

例题和练习的安排 113

3.2.4 2000年后中国台湾、澳门地区和日本教材编写特点比较 117

课程基本精神比较 118

年级安排、呈现方式与教材结构 119

课题引入与新知探究 120

公式的给出与应用 123

3.3 综合比较：教材编写的规律与启示 125

3.3.1 圆周率教学安排的规律与启示 126

教学内容整体处理的规律与启示 131

“引入新课、提出问题”的规律与启示 131

“分析问题、确定变量”的规律与启示 133

“方法研讨、探索规律”的规律与启示 134

“定义概念、导出公式”的规律与启示 135

3.3.2 例题安排的规律与启示 135

3.3.3 练习安排的规律与启示 137

4 学生学习圆周长的可能性研究 141

4.1 学生学习圆周长的潜在可能性 141

4.1.1 学生学习的逻辑起点分析 141

4.1.2 学生学习的现实起点调查分析 143

4.2 学生学习圆周长的实际可能性 151

4.3 学习的可能性研究对教学的启示 161

4.3.1 如何加强概念教学？ 161

如何进行圆周长概念的教学？ 161

如何进行圆周率概念的教学？ 162

4.3.2 如何展开圆周率的探究？ 162

4.3.3 如何进行圆周率研究史的教学？ 163

4.3.4 如何加强能力培养？ 163

如何培养学生的空间观念？ 163

如何发展学生的推理能力？ 164

如何培养学生的符号感？ 164

如何培养学生的应用意识？ 165

5 教学设计比较研究 169

5.1 教学理念与价值取向 169

5.1.1 哪些教学理念与价值取向长期保持不变？ 169

5.1.2 哪些教学理念与价值取向发生了变化？ 169

5.2 新课引入 171

5.2.1 复习引入 171

5.2.2 情境引入 172

5.2.3 直接引入 173

5.2.4 历史典故引入 174

5.2.5 自学引入 174

5.2.6 动手操作引入 175

5.3 提出研究问题 176

5.3.1 教师直接提出 176

5.3.2 游戏激趣中提出 176

5.3.3 在体会必要性中提出 176

5.3.4 在学情了解中提出 177

5.4 体会直径与周长之间的共变关系 178

5.4.1 借助直觉，定性描述 178

5.4.2 设置参照，感受定量 179

5.5 展开实验探究 182

5.5.1 有哪些测量的方法？ 182

5.5.2 如何处理实际测量与演示的关系？ 183

5.5.3 如何对数据进行合理的处理和使用？ 185

5.5.4 如何介绍圆周率？ 186

5.6 导出计算公式 187

5.7 例题、习题安排 188

5.8 圆周率研究史料的利用 191

6 理论指导下的教学实践与探索 191

6.1 范希尔几何思维水平理论的教学启示 197

6.1.1 几何思维水平有哪些层次？ 197

6.1.2 如何划分圆周长、圆周率的几何思维水平层次？ 199

6.1.3 对教学有什么启示？ 202

如何进行教材结构分析与处理？ 203

如何进行学生几何思维水平评估？ 214

如何进行课堂教学设计与实施？ 223

6.2 程序性知识学习理论的教学启示 228

6.2.1 学生对程序性知识的理解特点 228

6.2.2 如何进行程序性知识的教学？ 229

理论基础 229

教学策略 229

教学过程 231

6.2.3 对教学有什么启示？ 232

如何检测学生的程序性知识的理解水平？ 232

如何评估学生头脑中产生式系统的完备性？ 233

如何指导课堂教学的设计与实施？ 238

6.3 文化复演论的教学启示 242

6.3.1 文化复演论的基本观点有哪些？ 242

6.3.2 对教学有什么启示？ 245

参考文献 249

附录 253

1 根据2001年课标编写的“圆的周长”教材图片 255

2 两个典型教学设计 264

后记 274

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