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第1章 数学基础 1

1.1 矩阵运算 1

1.1.1 行列式 1

1.1.2 矩阵的本征值问题 4

1.1.3 矩阵分解 5

1.1.4 幺正变换 8

1.2 群论基础 9

1.2.1 群的定义 9

1.2.2 子群、陪集、正规子群与商群 10

1.2.3 直积群 10

1.2.4 群的矩阵表示 11

1.2.5 三维转动反演群O（3） 11

1.3 最优化方法 12

1.3.1 最速下降法 13

1.3.2 共轭梯度法 13

1.3.3 牛顿法与拟牛顿法 20

1.3.4 一维搜索算法 27

1.3.5 单纯形法 30

1.3.6 最小二乘法 31

1.3.7 拉格朗日乘子 35

1.4 正交化 38

1.4.1 矢量的正交化 38

1.4.2 正交多项式 38

1.5 积分方法 40

1.5.1 矩形法 40

1.5.2 梯形法 40

1.5.3 辛普森法 41

1.5.4 高斯积分 42

1.5.5 蒙特卡罗方法 45

1.6 习题 47

第2章 量子力学和固体物理基础 48

2.1 量子力学 48

2.1.1 量子力学简介 48

2.1.2 薛定谔方程 49

2.1.3 波函数的概率诠释 51

2.1.4 力学量算符和表象变换 53

2.1.5 一维方势阱 57

2.1.6 方势垒的隧穿 58

2.1.7 WKB方法 61

2.1.8 传递矩阵方法 62

2.1.9 氢原子 64

2.1.10 变分法 69

2.2 晶体对称性 71

2.2.1 晶体结构和点群 71

2.2.2 常见晶体结构和晶面 84

2.2.3 结构缺陷 86

2.3 晶体的力学性质 91

2.3.1 状态方程 91

2.3.2 应变与应力 92

2.3.3 弹性常数 93

2.4 固体能带论 96

2.4.1 周期边界、倒空间与B16ch定理 96

2.4.2 空晶格模型与第一布里渊区 99

2.4.3 近自由电子近似与能带间隙 102

2.4.4 晶体能带结构 105

2.4.5 介电函数 106

2.5 晶格振动与声子谱 109

2.6 习题 113

第3章 第一性原理的微观计算模拟 114

3.1 分子轨道理论 114

3.1.1 波恩-奥本海默近似 114

3.1.2 平均场的概念 116

3.1.3 电子的空间轨道与自旋轨道 117

3.1.4 Hartree-Fock方法 118

3.1.5 Hartree-Fock近似下的单电子自洽场方程 120

3.1.6 Hartree-Fock单电子波函数的讨论 123

3.1.7 闭壳层体系中的Hartree-Fock方程 126

3.1.8 开壳层体系中的Hartree-Fock方程 128

3.1.9 Hartree-Fock方程的矩阵表达 129

3.1.10 Koopmans定理 130

3.1.11 均匀电子气模型 131

3.1.12 Hartree-Fock方程的数值求解和基组选取 135

3.1.13 Xa方法和超越Hartree-Fock近似 141

3.2 密度泛函理论 143

3.2.1 托马斯-费米-狄拉克近似 143

3.2.2 Hohenberg-Kohn定理 145

3.2.3 Kohn-Sham方程 146

3.2.4 交换关联能概述 148

3.2.5 局域密度近似 149

3.2.6 广义梯度近似 152

3.2.7 混合泛函 155

3.2.8 强关联与LDA+U方法 155

3.3 赝势 158

3.3.1 正交化平面波 158

3.3.2 模守恒赝势 159

3.3.3 赝势的分部形式 162

3.3.4 超软赝势 165

3.4 平面波-赝势方法 167

3.4.1 布里渊区积分——特殊k点 167

3.4.2 布里渊区积分——四面体法 175

3.4.3 平面波-赝势框架下体系的总能 185

3.4.4 自洽场计算的实现 197

3.4.5 利用共轭梯度法求解广义本征值 198

3.4.6 迭代对角化方法 202

3.4.7 Hellmann-Feynman力 207

3.5 缀加平面波方法及其线性化 210

3.5.1 APW方法的理论基础及公式推导 210

3.5.2 APW方法的线性化处理 215

3.5.3 关于势函数的讨论 218

3.6 过渡态 219

3.6.1 拖曳法与NEB方法 219

3.6.2 Dimer方法 222

3.7 电子激发谱与准粒子近似 225

3.7.1 基本图像 225

3.7.2 格林函数理论与Dyson方程 225

3.7.3 GW方法 227

3.7.4 Bethe-Salpeter方程 232

3.8 应用实例 234

3.8.1 缺陷形成能 234

3.8.2 表面能 236

3.8.3 表面巨势 237

3.8.4 集团展开与二元合金相图 239

3.9 习题 240

第4章 紧束缚方法 241

4.1 建立哈密顿矩阵 241

4.1.1 双原子分子 241

4.1.2 原子轨道线性组合方法 242

4.1.3 Slater-Koster双中心近似 243

4.1.4 哈密顿矩阵元的普遍表达式 248

4.1.5 对自旋极化的处理 253

4.1.6 光吸收谱 254

4.2 体系总能与原子受力计算 255

4.3 自洽紧束缚方法 256

4.3.1 Harris-Foulkes非自洽泛函 256

4.3.2 电荷自洽紧束缚方法 257

4.4 应用实例 260

4.4.1 闪锌矿的能带结构 260

4.4.2 石墨烯和碳纳米管的能带结构 261

4.5 习题 263

第5章 分子动力学方法 264

5.1 分子动力学 264

5.2 势场选取 265

5.2.1 对势 266

5.2.2 晶格反演势 268

5.2.3 嵌入原子势 270

5.2.4 改良的嵌入原子势方法 277

5.3 微正则系综中的分子动力学 278

5.3.1 Verlet算法 278

5.3.2 速度Verlet算法 280

5.3.3 蛙跳算法 281

5.3.4 预测-校正算法 282

5.4 正则系综 284

5.4.1 热浴和正则系综 284

5.4.2 等温等压系综 295

5.5 第一性原理分子动力学 297

5.5.1 波恩-奥本海默分子动力学 297

5.5.2 Car-Parrinello分子动力学 297

5.6 分子动力学的应用 302

5.7 习题 304

第6章 蒙特卡罗方法 306

6.1 蒙特卡罗方法实例简介 306

6.2 计算函数积分与采样策略 307

6.2.1 简单采样 308

6.2.2 重要性采样 308

6.2.3 Metropolis采样 311

6.3 几种重要的算法与模型 313

6.3.1 正则系综的MC算法 313

6.3.2 正则系综的MC算法 314

6.3.3 巨正则系综的MC算法 316

6.3.4 Ising模型 319

6.3.5 Lattice Gas模型 319

6.3.6 Potts模型 320

6.3.7 XY模型 320

6.4 Gibbs系综 320

6.4.1 随机事件及其接受率 321

6.4.2 GEMC算法实现 323

6.5 统计力学中的应用 324

6.5.1 随机行走 324

6.5.2 利用Ising模型观察铁磁-顺磁相变 324

6.5.3 逾渗 326

6.6 动力学蒙特卡罗方法 329

6.6.1 KMC方法的基本原理 329

6.6.2 指数分布与KMC方法的时间步长 330

6.6.3 计算跃迁速率 331

6.6.4 KMC几种不同的实现算法 333

6.6.5 低势垒问题与小概率事件 336

6.6.6 实体动力学蒙特卡罗方法 338

6.6.7 KMC方法的若干进展 339

6.7 KMC方法的应用 342

6.7.1 表面迁移 342

6.7.2 晶体生长 346

6.7.3 模拟程序升温脱附过程 348

附录A 351

A.1 角动量算符在球坐标中的表达式 351

A.2 拉普拉斯算符在球坐标中的表达式 354

A.3 勒让德多项式、球谐函数与角动量耦合 355

A.4 三次样条 359

A.5 傅里叶变换 361

A.5.1 基本概念 361

A.5.2 离散傅里叶变换 362

A.5.3 快速傅里叶变换 363

A.6 结构分析 369

A.6.1 辨别BCC、FCC以及HCP结构 369

A.6.2 中心对称参数 372

A.6.3 Voronoi算法构造多晶体系 374

A.7 NEB常用的优化算法 375

A.7.1 Quick-Min算法 375

A.7.2 FIRE算法 376

A.8 Pulay电荷更新 377

A.9 最近邻原子的确定 377

参考文献 379

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