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目录 1

第一章 平面坐标几何 4

1.1 基本概念的复习 4

1.1.1 平面上的笛卡儿坐标 4

1.1.2 直线方程 4

1.1.3 平面曲线方程 5

1.1.4 关于点和直线的一些重要公式 7

1.1.5 直线和曲线的交点 7

1.1.7 直线和曲线的参数方程 8

1.1.6 曲线的切线和法线 8

1.1.8 两条参数曲线的交点 10

1.1.9 曲率 11

1.2 平面坐标几何中的特殊技巧 11

1.2.1 极坐标在旋转对称曲线中的用途 11

1.2.2 满足给定连续性和相切性要求的圆锥截线的计算 13

1.2.3 曲线族的包络线 15

1.2.4 曲线的内蕴方程 18

第二章 三维几何与向量代数 21

2.1 三维坐标 21

2.2 向量简介 22

2.3.1 定义 24

2.3 向量代数Ⅰ——定义与简单的几何应用 24

2.3.2 关于这些定义的推论 26

2.3.3 向量的大小、单位向量 26

2.3.4 向量的笛卡儿分量组 26

2.3.5 直线的向量方程 28

2.3.6 举例 28

2.4.1 引言 29

2.4.2 沿已知方向的向量分量：纯量积 29

2.4 向量代数Ⅱ——纯量积与向量积 29

2.4.3 平面的向量方程 31

2.4.4 垂直于二已知向量a与b的向量：向量积 32

2.4.5 向量积的应用 33

2.4.6 三重数量积 34

2.4.7 三重向量积 35

第三章 坐标变换 37

3.1 引言 37

3.2 对象变换 37

3.2.1 平移 37

3.2.3 向量绕过原点的一般轴线的旋转 38

3.2.2 绕Oz轴的转旋 38

3.2.4 举例 39

3.2.5 变比变换和反射变换 40

3.2.6 错移变换 40

3.2.7 齐次坐标的应用 41

3.2.8 举例 42

3.3 三维空间的平面投影 43

3.3.1 平行投影 43

3.3.2 中心投影（透视图） 45

3.4 斜坐标 46

第四章 三维曲线和曲面的几何学 48

4.1 曲线和曲面的参数表示 48

4.1.1 曲线的参数表示 48

4.1.2 举例 49

4.1.3 曲面的参数表示 49

4.1.4 举例 49

4.1.5 用参数表示曲线和曲面的优点 50

4.1.6 旋转曲面 51

4.1.7 举例 51

4.2.1 向量的微分 52

4.2 初等微分几何学 52

4.2.2 向量函数的泰勒定理 53

4.2.3 曲线上的切线 54

4.2.4 曲线的主法线和副法线 56

4.2.5 曲线的挠率；费伦内特－塞雷特公式 57

4.2.6 举例 58

4.2.7 曲面的微分几何学 59

42.8 曲面的度量性质 61

4.2.9 曲面的曲率 62

4.2.10 参数变换 64

4.2.11 空间曲线族的包络 65

4.2.12 直纹面 66

4.2.13 可展曲面 66

4.2.14 关于参数曲线的弧长、面积和体积 67

4.3 三维曲面和曲线的隐式方程 69

4.3.1 曲面的隐式方程 69

4.3.2 曲面f（x,y,z）=0的法向量 69

4.3.3 空间曲线方程 70

4.3.4 空间曲线的切向量 71

4.3.5 自动程编（APT）曲面的定义 71

5.1.1 引言 73

5.1.2 费格森参数三次曲线 73

第五章 曲线和曲面设计 73

5.1 曲线和曲面设计用的参数三次方程 73

5.1.3 贝齐尔三次UNISURF曲线 75

5.1.4 伯恩斯坦——贝齐尔多项式曲线 77

5.1.5 贝齐尔三次曲线的特殊情况 78

5.1.6 费格森的三次曲面片 78

5.1.7 贝齐尔UNISURF曲面片 79

5.2 有理参数曲线和曲面 80

5.2.1 一段圆锥截线的有理二次参数式 80

5.2.2 有理三次曲线 84

5.3 多项式曲线、曲面和有理参数曲线、曲面的参数变换 87

5.2.3 有理曲面片 87

5.4 平面贝齐尔曲线所张成的面积 89

第六章 复合曲线与样条 90

6.1 引言 90

6.2 平面曲线的拟合 90

6.2.1 古典方法 90

6.2.2 多项式样条 91

6.2.3 B－样条 96

6.2.4 B－样条的其它性质 97

6.3 参数复合曲线 100

6.3.2 复合贝齐尔曲线 101

6.3.1 复合费格森曲线 101

6.3.3 复合有理二次和三次曲线 103

6.3.4 参数样条 104

6.3.5 B－样条曲线 105

6.3.6 参数式与切向量 109

6.4 两个更实用的系统 112

6.5 复合曲线的局部调整 115

第七章 复合曲面 119

7.1 引言：孔斯曲面片 119

7.2 张量积曲面 122

7.2.1 费格森曲面 123

7.2.2 贝齐尔曲面 127

7.2.3 有理参数曲面 132

7.2.4 参数样条曲面 135

7.2.5 B－样条曲面 138

7.3 放样曲面 138

7.4 非参数曲面 140

7.5 样条混合曲面 142

7.6 退化曲面片 143

7.7 参数曲面上的曲线、曲面片的分割 144

8.1 用贝齐尔曲面片的线性轴向设计 146

第八章 截面设计 146

8.1.1 用成比例的横截线设计 147

8.1.2 仅用一条纵向曲线调配两条横截线间的曲面片 148

8.1.3 用两条纵向曲线调配两条横截线间的曲面片 149

8.2 用广义贝齐尔曲面片进行线性轴向设计 150

8.3 基于比例展开法的横截线设计 151

8.4 基于一条弯曲脊线的横截线设计 153

8.5 线性轴向设计的面积和体积 154

9.1 曲线、曲面相交 156

9.1.1 引言 156

第九章 曲面设计和加工所用的计算方法 156

9.1.2 方程组的解 157

9.1.3 步长的确定 159

9.1.4 采用最小二乘的极小化算法求解曲面相交问题 161

9.2 偏置曲面 163

9.3 数控加工的刀具轨迹 163

9.4 直线和曲面的相交 165

9.5 可展曲面的展开 166

9.6 参数曲线的分段线性逼近 167

A1.1 预备性的定义 169

A1.2 矩阵代数的法则 169

附录1 初等矩阵代数 169

A1.3 两个矩阵的乘积 170

A1.4 矩阵乘积的性质 171

A1.5 非奇异矩阵 172

A1.6 矩阵的转置 173

A1.7 正交矩阵 173

A1.8 数量积与向量积的矩阵表示法 174

A1.9 分块矩阵 174

附录2 行列式 175

附录3 多项式的重要性质 176

A4.1 单个方程的解 179

附录4 多项式及其它非线性方程的数值解 179

A4.2 非线性方程组的数值解 180

附录5 多项式逼近 182

A5.1 引言 182

A5.2 多项式拟合的最小二乘法 183

A5.3 多项式插值：拉格朗日方法 185

A5.4 多项式插值：埃尔米特方法 187

A5.5 多项式插值：差商方法 187

A5.6 数值积分和数值微分 190

A5.7 有关数值分析的更高深的读物 190

参考资料 190

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