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绪论 1

0．1 统计估计理论与应用的发展过程 1

0．2 随机动态系统中估计与控制问题的提出 2

0．3 随机信号估计和随机系统控制问题的分类 4

0．3．1 随机信号估计问题的分类 4

0．3．2 随机系统控制问题的分类 5

参考文献 6

第一篇 随机信号与系统基础知识 7

第1章 数学准备——矩阵论、概率论补充知识 7

1．1 矩阵论补充知识 7

1．1．1 矩阵反演定理和分块方阵的求逆公式 7

1．1．2 矩阵的迹(Norm)和范数(Trace) 8

1．1．3 矩阵不等式 9

1．1．4 矩阵函数的求导运算 10

1．2 多维(连续型)随机变量的联合概率分布及边际概率分布 13

1．2．1 一维随机变量情况回顾 13

1．2．2 多维随机变量概念 15

1．2．3 多维联合概率分布 15

1．2．4 边际概率分布 15

1．3 多维条件概率分布与统计独立性 17

1．3．1 随机事件的条件概率回顾 17

1．3．2 随机变量的条件概率分布密度 17

1．4 多维(连续型)随机变量的数字特征 19

1．4．1 一维随机变量情况回顾 19

1．4．2 二维随机向量情况 21

1．4．3 多维随机向量情况 22

1．4．4 条件均值(回归)与条件方差 25

1．5 多维随机向量的变换 27

1．5．1 一维随机变量情况回顾 27

1．5．2 多维随机向量情况 28

1．6 随机变量之和的概率分布与中心极限定理 29

1．6．1 多个随机变量之和的概率分布 30

1．6．2 中心极限定理 31

1．7 随机变量的特征函数 33

1．7．1 傅里叶变换引入概率论的背景 33

1．7．2 一维随机变量的特征函数 34

1．7．3 多维随机变量的特征函数 35

1．8 多维正态(高斯)分布 36

1．8．1 一维正态分布 37

1．8．2 多维正态分布的定义 38

1．8．3 联合分布与边际分布、条件分布的一致正态性 39

1．8．4 多维正态分布的条件均值、条件方差及其特点 41

1．8．5 独立性与不相关性之间的等价性 41

1．8．6 线性变换与线性组合前后的一致正态性 42

习题 43

参考文献 45

第2章 随机过程(信号)的数学描述 46

2．1 随机过程的统计描述 46

2．1．1 随机过程的基本概念 46

2．1．2 随机过程的概率分布表示法 47

2．1．3 随机过程的统计函数表示法 49

2．2 独立过程、不相关过程及正态过程 51

2．2．1 独立过程 51

2．2．2 不相关过程 52

2．2．3 δ相关过程 53

2．2．4 正态过程 54

2．3 平稳过程 54

2．3．1 严平稳过程 54

2．3．2 广平稳过程 56

2．3．3 遍历性过程 57

2．4 随机信号(过程)的功率谱密度 60

2．4．1 帕什瓦尔定理与能量型信号的能量谱密度 60

2．4．2 信号的功率谱密度及自相关函数 62

2．4．3 功率型信号的功率谱密度与自相关函数间的关系 63

2．4．4 随机信号(过程)的功率谱密度 63

2．4．5 平稳随机信号(过程)的功率谱密度与维纳-辛钦定理 63

2．5 白噪声过程 64

2．5．1 平稳白噪声过程的频域定义 64

2．5．2 非平稳多维白噪声过程的时域定义 66

2．6 时间序列——自回归滑动和序列或ARMA(n，m)序列 67

2．6．1 时间序列的定义和生成 67

2．6．2 时间序列的自相关序列特点 67

2．6．3 自回归序列的尤尔-瓦尔克方程 69

2．6．4 时间序列的主要应用简介 69

2．7 马尔可夫过程 70

2．7．1 一阶马氏过程(马氏-1过程) 70

2．7．2 高阶马氏过程(马氏-q过程) 71

2．7．3 正态马氏过程(序列) 72

2．8 独立、不相关及正交增量过程 74

2．8．1 独立增量过程 74

2．8．2 不相关及正交增量过程 77

习题 77

参考文献 79

第3章 线性时变随机系统特性的统计分析 80

3．0 引论 80

3．0．1 问题的提出 80

3．0．2 研究要求 80

3．0．3 研究方法 81

3．1 连续时间线性随机系统的基本结构及其状态随机过程的性质 81

3．1．1 系统的数学模型 81

3．1．2 关于状态初值和噪声统计特性的基本简化假设 82

3．1．3 状态向量随机过程的性质 83

3．2 离散时间线性随机系统的基本结构及其状态随机过程的性质 84

3．2．1 系统的数学模型 84

3．2．2 关于状态初值和噪声统计特性的简化假设 87

3．2．3 状态向量随机序列的性质 88

3．3 线性时变随机系统的输入-输出关系 89

3．3．1 连续时间随机系统的情况 89

3．3．2 离散时间随机系统的情况 93

3．4 线性时变随机系统的重要性质分析 95

3．4．1 线性时变随机系统的稳定性 95

3．4．2 线性时变随机系统的可观测性 96

3．4．3 线性时变随机系统的可控制性 97

习题 99

参考文献 100

第二篇 随机信号估计理论 101

第4章 基本估计方法概论 101

4．0 最佳估计问题的提出及其准则 101

4．0．1 随机动态系统中估计问题的表述 101

4．0．2 关于最佳估计准则选择的讨论 102

4．1 最小(误差)方差估计(Minimum Variance-of-error estimation) 104

4．2 最大验后估计(Maximum A Posteriori estimation) 106

4．2．1 最大验后准则 106

4．2．2 最大验后估计求解方法 108

4．3 最大似然估计(Maximum Likelihood estimation) 109

4．3．1 最大似然准则 109

4．3．2 最大似然估计求解方法 110

4．4 线性最小方差估计(Linear Minimum Variance estimation) 113

4．4．1 工程背景 113

4．4．2 线性最小方差估计问题的表述 114

4．4．3 线性最小方差估计求解方法 114

4．4．4 线性最小方差估计的统计性质 116

4．5 最小二乘估计(Least Squares estimation) 117

4．5．1 最小二乘准则 117

4．5．2 马尔可夫估计 118

4．6 估计量的性能评价与克拉美-罗不等式 120

4．6．1 估计量的性能 120

4．6．2 克拉美-罗不等式 122

习题 124

附录 各种基本估计量之间的关系及比较 127

参考文献 128

第5章 离散时间线性随机系统状态的最佳线性递推估计 129

5．0 递推估计或滤波问题的提出 129

5．0．1 随机系统状态估计问题的工程背景 129

5．0．2 采用递推算法实现线性最小方差估计的必要性 130

5．1 正交投影定理 131

5．1．1 正交投影的定义 131

5．1．2 关于正交投影运算性质的三个定理 131

5．2 卡尔曼滤波递推算法基本公式的正交投影法推导 135

5．3 新息(观测的一步最佳预报误差)的统计性质 141

5．4 卡尔曼滤波器运行机制的物理说明 144

5．4．1 离散时间线性随机系统卡尔曼滤波器的结构分析 145

5．4．2 运行情况的特例分析 146

5．4．3 一般运行情况的分析 147

5．5 离散时间线性定常随机系统的稳态卡尔曼滤波器——离散时间维纳滤波器 154

5．5．1 稳态卡尔曼滤波器的基本结构 155

5．5．2 卡尔曼滤波器稳态误差方差阵的求解 155

5．5．3 离散时间情况下稳态卡尔曼滤波器与维纳滤波器的等效关系 159

5．6 卡尔曼滤波的快速递推算法 160

5．6．1 序贯处理法 160

5．6．2 信息滤波法 162

5．6．3 系统分割法 164

5．7 离散时间线性随机系统卡尔曼滤波的一些推广 166

5．7．1 白噪声作用下的一般离散时间线性随机控制系统情况 166

5．7．2 有色噪声作用下的离散时间线性随机系统情况 172

5．7．3 观测噪声中含有确定性扰动分量的情况 177

5．8 离散时间线性随机系统最小二乘滤波递推算法 182

5．9 离散时间线性随机系统的最佳预报 185

5．9．1 最佳固定区间预报 186

5．9．2 最佳固定点预报 186

5．9．3 最佳固定超前预报 187

5．9．4 最佳预报的误差特性 187

5．9．5 一般离散时间线性随机控制系统情况下的推广 190

5．10 离散时间线性随机系统的最佳平滑 191

5．10．1 最佳固定区间平滑 192

5．10．2 最佳固定点平滑 196

5．10．3 最佳固定滞后平滑 200

习题 204

参考文献 205

第6章 连续时间线性随机系统状态信号的最佳滤波 206

6．0 问题的提法及解决途径 206

6．0．1 连续时间线性随机系统最佳滤波问题的提法 206

6．0．2 求解的基本途径 207

6．1 连续时间线性随机系统与离散时间线性随机系统参数间的对应关系 207

6．1．1 由离散时间随机系统到连续时间随机系统的参数阵换算关系 208

6．1．2 由连续时间随机系统到离散时间随机系统噪声方差阵之间的对应关系 209

6．2 连续时间线性随机系统的最佳线性滤波方程 210

6．2．1 等效的离散时间线性随机系统 210

6．2．2 连续型卡尔曼滤波方程 211

6．3 连续时间线性定常随机系统的稳态卡尔曼滤波器——连续时间维纳滤波器 216

6．3．1 稳态卡尔曼滤波器的基本结构 216

6．3．2 卡尔曼滤波器稳态误差方差阵的求解 217

6．4 连续时间线性随机系统卡尔曼滤波的一些推广 220

6．4．1 白噪声作用下的一般连续时间线性随机控制系统情况 220

6．4．2 有色噪声作用下的连续时间线性随机系统情况 222

习题 225

参考文献 225

第7章 卡尔曼滤波发散现象的成因及补偿技术 226

7．0 卡尔曼滤波发散问题的提出 226

7．1 理想使用条件下卡尔曼滤波的稳定性 227

7．1．1 滤波稳定性问题的一般分析 227

7．1．2 最佳滤波误差方差阵的有界性 228

7．1．3 滤波误差方差阵的稳态特性 229

7．2 针对计算误差所致滤波发散的补偿技术 231

7．2．1 强制对称法 232

7．2．2 双倍字长法 232

7．2．3 平方根算法 232

7．3 针对模型误差所致滤波发散的补偿技术 236

7．3．1 模型误差对滤波误差的影响分析 236

7．3．2 限定增益下界法 242

7．3．3 伪随机噪声法 244

7．3．4 增益直接加权法 246

7．3．5 渐消(衰减)记忆法 248

7．3．6 限定记忆法 250

7．3．7 扩充状态向量法 253

7．4 自适应滤波技术 255

7．4．0 问题的提出及解决的思路 255

7．4．1 基本关系式 256

7．4．2 仅观测噪声方差阵R不精确掌握的情况 258

7．4．3 仅动态噪声方差阵Q不精确掌握的情况 260

7．4．4 两种噪声方差阵QR均不精确掌握的情况 260

参考文献 262

第8章 非线性滤波问题的近似求解 264

8．0 非线性滤波问题的提出 264

8．1 线性化卡尔曼滤波法 265

8．1．1 连续时间非线性随机系统情况 265

8．1．2 离散时间非线性随机系统情况 267

8．2 迭代型推广卡尔曼滤波法 268

8．2．1 连续时间非线性随机系统情况 268

8．2．2 离散时间非线性随机系统情况 272

8．3 降低线性化次优滤波误差的途径 274

8．3．1 坐标变换法 274

8．3．2 二阶滤波法 275

8．3．3 自适应滤波法 275

8．4 非线性次优滤波的人工神经网络实现 275

习题 276

参考文献 277

第三篇 随机系统控制理论 278

第9章 离散时间线性随机系统的最优控制 278

9．1 确定性系统最优控制和预报控制中线性二次型问题简述 278

9．1．1 确定性离散时间系统模型 278

9．1．2 基本型最优控制问题 280

9．2 线性随机最优控制问题的提法 289

9．2．1 离散时间随机系统模型 289

9．2．2 基本型全局最优控制问题 291

9．3 线性-二次型-高斯(LQG)情况下的确定性等价定理与分离原理 291

9．3．1 求解LQG问题的确定性等价定理与分离原理 291

9．3．2 LQG情况下最佳滤波与最优控制的对偶性 306

9．3．3 一般情况下随机最优控制近似处理中的分离原理 307

习题 309

参考文献 309

第10章 离散时间线性随机系统的自适应预报控制 310

10．1 确定性系统预报控制问题简述 310

10．1．1 离散时间系统中确定性扰动的内模描述 310

10．1．2 抗扰动型预报控制问题 310

10．1．3 多步预报控制律推导 314

10．2 线性随机系统预报控制和参数估计问题的提法 322

10．2．1 抗扰动型多步预报控制问题 322

10．2．2 随机系统参数估计问题 322

10．3 线性随机系统的参数估计 323

10．3．1 系统参数单独估计情况 323

10．3．2 系统状态和参数同时估计情况 324

10．4 线性随机系统的自适应预报控制 329

10．4．1 线性定常随机系统的最小方差多步预报 330

l0．4．2 自适应多步预报控制 339

10．4．3 作为特例的一些自校正控制技术 341

10．4．4 人工神经网络的应用 341

参考文献 350

第四篇 应用实例 351

第11章 全球定位系统(GPS)信号的卡尔曼滤波 351

11．0 GPS信号滤波问题概述 351

11．1 GPS信号的状态空间法建模 352

11．1．1 GPS定位信号建模问题的讨论 353

11．1．2 基于微分多项式的消息模型 355

11．1．3 基于一阶时间相关函数的辛格消息模型[1] 356

11．1．4 “当前”加速度统计模型[1] 357

11．1．5 基于内模原理的系统数学模型 359

11．2 野值修正的卡尔曼滤波 363

11．3 QR参数自适应卡尔曼滤波 365

11．4 基于当前加速度模型的自适应卡尔曼滤波 368

11．5 内模自适应卡尔曼滤波 370

11．5．1 静态定位情况 373

11．5．2 动态定位情况 374

11．5．3 人工神经网络实现 380

参考文献 382

第12章 基于主导内模法的预报型结构减振控制技术 383

12．0 结构减振控制问题概述 383

12．1 结构动力学模型 384

12．2 主导内模法的实施 386

12．3 控制律的推导 387

12．4 闭环稳定性分析 390

12．5 主导内模法对于设定频率的鲁棒性分析 391

参考文献 399

第13章 过程控制用改进型广义预报控制 401

13．0 广义预报控制概述 401

13．1 基本型广义预报控制算法简介 401

13．2 最优滑动平均滤波器用于抑制确定性扰动和模型噪声[10,24] 403

13．3 离散系统模型参数的理论近似值用于设定参数估计初值 407

13．4 模型递推法用于实现多步预报[11，13，25] 410

13．5 改进型广义预报控制律 413

13．6 单片式微处理器实现 414

13．6．1 基本控制算法的简化 414

13．6．2 参数估计算法的简化 416

13．6．3 纯时延的简捷估算 417

13．6．4 稳态增益的简捷估算 417

参考文献 421

附录 函数插值型联想记忆系统简介 424

参考文献 430

习题参考答案 431

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