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第一篇 预备知识 1

第一章 分形理论 1

1.1 欧氏空间与非欧空间 1

1.2 测度理论初步 3

1.3 勒贝格（Lebesque）测度 7

1.4 豪斯道夫测度与维数 9

1.5 分形的定义 12

1.6 分形维数的物理意义 15

第二章 可求长曲线问题 23

2.1 有界变差函数 23

2.2 可求长曲线 31

2.3 γ-函数的性质 34

第三章 整数阶微积分 43

3.1 整数阶导数的定义 43

3.2 积分是微分的逆运算 44

3.3 微分与积分的经典定义 47

3.4 混合导数的运算法则 49

3.5 重积分关于下限的相关性 52

3.6 积的重积分的运算法则 53

3.7 复合函数的求导法则 55

3.8 重积分 56

3.9 无穷级数的微分与积分 57

3.10 幂函数的微分与积分 58

3.11 超几何函数的微分与积分 59

第二篇 分数阶微积分 63

第四章 欧氏测度下的分数阶微积分 63

4.1 基本概念 63

4.2 简单函数的分数阶微积分 72

4.3 分数阶微积分的性质 78

4.4 复杂函数的微积分 99

4.5 小结 119

5.1 定义 122

第五章 半导数与半积分 122

5.2 一般性质 124

5.3 常数与幂函数 126

5.4 二项式函数 128

5.5 指数函数与相关函数 130

5.6 三角函数与双曲三角函数 132

5.7 贝塞尔函数与Struve函数 136

5.8 广义超几何函数 138

5.9 复杂函数 140

第六章 分数阶常微分方程 141

6.1 拉普拉斯变换 141

6.2 数值微积分 144

6.3 作为超几何函数的超越函数 156

6.4 K＞L的超几何函数 159

6.5 复杂超几何函数的降阶 160

6.6 基本的超几何函数 162

6.7 K=L超越函数的生成 166

6.8 K=L—1超越函数的生成 168

6.9 K=L—2超越函数的生成 170

6.10 特殊的常微分方程 174

6.11 半微分方程 176

6.12 级数解 179

第七章 分数阶偏微分方程 181

7.1 基本概念 181

7.2 齐次边界条件的发展型方程 182

7.3 非线性输运方程 187

7.4 运动边界发展方程 191

7.5 分数阶波动型方程 198

第八章 豪斯道夫测度下的微积分 203

8.1 问题的提出 203

8.2 基本概念 203

8.3 基本性质 206

8.4 H—导数的定义 207

8.5 H—导数的性质 209

8.6 一些函数的H—导数 212

第三篇 分形动力学 215

第九章 复杂系统与复杂性 215

9.1 引言 215

9.2 分形动力学的研究内容 216

9.3 维数、信息和熵 219

9.4 分形动力学解的充分性判据 221

9.5 产生分形结构的物理机制 222

9.6 宏观不可逆性 225

9.7 分形动力学与演化物理 226

第十章 分形生长动力学 227

10.1 分形生长静力学 227

10.2 运动边界的物理本质 229

10.3 分形生长动力学的线性模型 235

10.4 线性模型的求解 238

10.5 分形生长动力学的非线性模型 241

10.6 有生长中心的分形生长动力学 247

10.7 关于生长半径问题 252

10.8 用随机微分方程描述的分形生长动力学 253

第十一章 随机分形动力学 256

11.1 问题的提出 256

11.2 稳定分布问题 257

11.3 分数布朗运动 267

11.4 长时相干效应与反常扩散 271

11.5 连续时间无规行走与反常输运 278

11.6 时空扰动作用下的随机分形 283

第十二章 演化动力学的决定论方法 288

12.1 问题的提出 288

12.2 演化过程的物理基础 290

12.3 确定性动力学过程的演化动力学方程 291

12.4 质量平衡方程 295

12.5 化学反应与扩散耦合系统的演化动力学 298

12.6 具有多种过程系统的热效应 300

12.7 重力场中的反应扩散方程 302

第十三章 系统的稳定性 304

13.1 问题的提出 304

13.2 轨道与结构稳定性 307

13.3 稳定性理论 310

13.4 突变理论 313

13.5 含有两个变量的系统 320

13.6 反应—扩散系统的稳定性 328

13.7 非平衡线性热力学的稳定性 333

13.8 非平衡态热力学的稳定性 337

第十四章 在材料科学中的应用 342

14.1 问题的提出 342

第四篇 分形动力学的应用 342

14.2 介面生长动力学 343

14.3 裂纹的扩展问题 347

14.4 凝固问题 353

第十五章 在各种演化问题中的应用 357

15.1 问题的提出 357

15.2 化学中的Rossler反应 358

15.3 Lorenz模型 361

15.4 形态生长模型 364

15.5 位错密度的演化动力学 368

第十六章 分形动力学的描述方法 374

16.1 问题的提出 374

16.2 欧氏测度下的分数阶微积分 375

16.3 豪斯道夫测度下的微积分 381

16.4 标度对称性与动力学重整化群 383

16.5 讨论 384

参考文献 386

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