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第一章 数列与数项级数 1

1.1 数列的收敛与发散 1

一、数列 1

二、数列的极限 1

三、有关极限的几个简单定理 2

1.2 数列收敛的判定 4

一、数列的单调性与有界性 4

二、维尔斯特拉斯一波尔查诺定理 5

三、柯西收敛原理 6

1.3 上确界、下确界与上极限、下极限 8

一、上确界和下确界 8

二、上极限与下极限 9

1.4 级数的收敛与发散 9

一、级数 9

二、收敛级数的基本性质 11

三、柯西收敛原理 12

1.5 正面级数的判别法 13

一、正项级数收敛的充分必要条件 13

二、比较判别法 13

三、达朗贝尔判别法及柯西判别法 16

四、拉阿伯判别法及贝特昂判别法 19

五、高斯判别法 21

六、积分判别法 23

1.6 任意项级数的收敛性 24

一、绝对收敛与条件收敛 24

二、阿贝尔判别法与狄利克莱判别法 25

三、交错级数与莱布尼兹判别法 28

1.7 关于收敛级数的可交换性 29

1.8 复数列与复数项级数 34

一、复数列 34

二、复数列收敛的条件 35

三、复数项级数 36

四、复数项级数的收敛性 36

第二章 函数列与函数项级数 38

2.1 函数列的收敛与一致收敛 38

一、函数列在一点处的收敛与发散 38

二、函数列的处处收敛与一致收敛 38

三、函数列一致收敛性的判别法 42

四、一致收敛的函数列的特性 43

2.2 函数项级数的收敛与一致收敛 45

一、函数项级数 45

二、函数项级数的收敛与一致收敛 45

2.3 一致收敛级数的基本性质 52

一、逐项取极限定理 53

二、和函数的连续性 55

三、逐项积分定理 56

四、逐项微分定理 57

第三章 幂级数及其应用 60

3.1 幕级数及其收敛性 60

一、幂级数的基本概念 60

二、幂级数的收敛半径与收敛区间 60

3.2 幂级数的性质与运算 63

一、幂级数的性质 63

二、幂级数的运算 67

3.3 函数展开成幂级数 70

一、泰勒级数 70

二、函数展开成幂级数 71

3.4 幂级数的若干应用 77

一、级数求和 77

二、近似计算 78

三、微分方程的幂级数解法 79

四、斯特林公式 81

五、椭圆积分简介 83

3.5 用多项式一致逼近连续函数 84

第四章 渐近级数及其应用 87

4.1 渐近级数 87

一、幂级数与渐近级数 87

二、庞加莱的渐近级数定义 88

三、函数展开成渐近级数的充分必要条件 90

四、函数展开成渐近级数的唯一性定理 90

4.2 渐近级数的运算 91

一、四则运算性质 91

二、分析运算性质 92

4.3 函数展开成渐近级数 95

一、复合函数的渐近展开 95

二、简单积分所表函数的渐近展开 96

三、有关数值计算的注意事项 99

4.4 积分的渐近估计 100

一、拉普拉斯方法 100

二、使用方法的注意事项 102

三、函数？的情形 104

四、渐近公式含高次项的情形 107

4.5 鞍点法 110

一、鞍点法 110

二、改变积分路径法 113

三、函数为？的情形 113

四、渐近公式含高次项的情形 114

4.6 发散级数的求和法 116

一、各种求和方法 116

二、有关注意事项 122

4.7 欧拉-麦克劳林公式 124

一、达布公式 124

二、欧拉-麦克劳林公式 125

三、关于余项Rn 126

4.8 渐近级数的若干应用 127

一、求傅立叶级数的和 127

二、用于近似计算 129

三、解微分方程 131

四、表示特殊函数 131

参考文献 135

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