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第1章 有限元方法的数学基础 1

1．1 有限元方法概述 1

1．2 数学物理中的变分原理 3

1．2．1 变分原理实例 3

1．2．2 对称正算子方程的变分原理 5

1．2．3 一般椭圆型方程的变分原理 9

1．2．4 自然边界条件 12

1．3．1 函数空间的基函数与极小化序列 13

1．3 Ritz法 13

1．3．2 Ritz法的解题步骤 14

1．3．3 Ritz法的收敛性 16

1．3．4 计算举例 17

1．4 Galerkin加权余量法 21

1．4．1 基本思想与解题步骤 21

1．4．2 几种常用的加权余量法 23

1．4．3 Galerkin法 28

1．5 Ritz-Galerkin法解题分析 34

1．5．1 解题步骤 34

1．5．2 线性问题的求解 35

1．5．3 非线性问题的求解 39

1．5．4 微分方程初值问题的求解 40

习题 41

第2章 有限元方法 43

2．1 有限元方法基本原理 43

2．1．1 有限元方法基本思想 43

2．1．2 有限元方法解题步骤 44

2．2．2 区域剖分 45

2．2．1 写出积分表达式 45

2．2 有限元方法解题分析 45

2．2．3 确定单元基函数 47

2．2．4 单元分析 50

2．2．5 总体合成 51

2．2．6 边界条件处理 53

2．2．7 解总体有限元方程 55

2．3 有限元方法求解二维问题实例 55

2．3．1 写出积分表达式 56

2．3．2 区域剖分 56

2．3．3 确定单元基函数 57

2．3．4 单元分析 58

2．3．5 总体合成 59

2．3．6 边界条件处理 60

2．3．7 解总体有限元方程 61

2．4 有限元方法求解非线性问题 61

2．5 有限元方法求解不定常问题 65

2．6 有限元方法计算程序 65

2．6．1 有限元方法计算机解题概述 65

2．6．3 Laplace方程边值问题计算源程序 66

2．6．2 计算程序框图 66

习题 73

第3章 单元与单元基函数 74

3．1 概述 74

3．1．1 单元形态 74

3．1．2 单元基函数类型 75

3．1．3 单元基函数的连续性要求 77

3．1．4 单元自由度 77

3．1．5 插值基函数多项式的构成 78

3．1．6 局部坐标与标准单元 79

3．2 一维单元插值基函数 80

3．2．1 一维局部坐标 80

3．2．2 Lagrange插值基函数 81

3．2．3 Hermite插值基函数 83

3．3 三角形单元Lagrange插值基函数 84

3．3．1 三角形单元的面积坐标 85

3．3．2 各种结点类型的三角形单元 86

3．3．3 曲线边三角形等参数单元 88

3．3．4 三角形单元面积坐标的积分 91

3．4 四边形单元Lagrange插值基函数 93

3．4．1 双向结点插值的矩形单元 94

3．4．2 边界结点插值的矩形单元 96

3．4．3 四边形等参数单元 98

3．4．4 四边形单元局部坐标的积分 101

3．5 三角形单元与矩形单元的Hermite插值基函数 103

3．5．1 三角形单元的一阶Hermite插值基函数 103

3．5．2 矩形单元的一阶Hermite插值基函数 105

3．6 三维单元Lagrange插值基函数 107

3．6．1 四面体单元 108

3．6．2 矩形六面体单元 109

3．6．3 六面体等参数单元 110

3．6．4 轴对称单元 112

3．6．5 正方体单元和四面体标准单元的数值积分 112

习题 113

第4章 流体力学典型问题的有限元分析 116

4．1 理想不可压流体的无旋流动 116

4．1．1 数学方程与边界条件 116

4．1．2 圆柱体绕流有限元分析实例 118

4．1．3 轴对称流动等参数有限元分析 127

4．1．4 多体绕流问题 133

4．1．5 具有自由面的位势流动 135

4．2 不可压粘性流动 140

4．2．1 数学方程与边界条件 140

4．2．2 基本变量式的有限元解 142

4．2．3 流函数涡量式的有限元解 150

4．2．4 流函数式的有限元解 152

4．3．1 物理模型 154

4．3 浅水环流 154

4．3．2 边界条件 156

4．3．3 浅水方程 157

4．3．4 浅水方程的有限元分析 159

4．3．5 应用举例 161

习题 163

第5章 对流扩散问题的迎风有限元件方法 165

5．1 对流扩散方程 165

5．2 常规有限元分析与解的失真振荡 167

5．3 一维迎风有限元格式 170

5．4 二维迎风有限元格式 174

5．5 简化的迎风有限元格式 178

5．6 应用实例 181

第6章 流体力学边界元法基础 183

6．1 边界元法概述 183

6．1．1 边界元法特点 183

6．1．2 边界元法基本思想 184

6．2 边界元法基本原理和解题步骤 184

6．2．1 基本解 185

6．2．3 边界积分方程 186

6．2．2 积分方程 186

6．2．4 边界积分方程的离散求解 188

6．2．5 影响系数矩阵的计算 191

6．2．6 区域内函数值的计算 195

6．3 不可压无旋流动的线性边界元解 198

6．3．1 不可压无旋流动的数学方程 198

6．3．2 线性边界元解题分析 199

6．4 若干线性算子方程的基本解 206

6．5 非线性问题的边界元解法 210

7．1．1 基本思想 212

7．1．2 求解步骤 212

7．1 有限分析法的基本思想与求解步骤 212

第7章 流体力学有限分析法 212

7．2 椭圆型方程的有限分析解 216

7．2．1 边界函数为指数多项式的有限分析解 216

7．2．2 边界函数为二次多项式的有限分析解 225

7．2．3 边界函数为分段线性多项式的有限分析解 228

7．2．4 有限分析法的自动迎风效应 230

7．3 不可压无旋流动的有限分析解 232

7．4．1 给定涡量的流函数方程有限分析解 234

7．4 不可压粘性流动的有限分析解 234

7．4．2 流函数涡量式的有限分析解 238

7．4．3 方形空腔流动计算实例 241

7．4．4 基本变量式的有限分析解 242

7．5 非定常不可压粘性流动的有限分析解 243

7．6 非均匀网格的有限分析解 246

第8章 边界拟合坐标 248

8．1 坐标变换概述 248

8．2．1 基本原理 250

8．2 Laplace方程定解的边界拟合坐标 250

8．2．2 边界拟合坐标变换的基本思想 252

8．2．3 边界拟合坐标变换的求解步骤 255

8．3 Poisson方程定解的边界拟合坐标 255

8．3．1 基本原理 255

8．3．2 Poisson方程控制函数的选择 259

8．4 边界拟合坐标的数值方法 260

8．5 边界拟合坐标系中的流体力学方程 263

参考文献 267

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