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第一章 线性空间与内积空间 1

集合与映射 1

集合及性质 1

集合的运算 2

映射 4

集合的基数 5

可数集与不可数集 6

实数集的确界存在原理 7

线性空间与线性算子 9

线性空间 9

线性子空间 11

线性空间的基与维数 13

线性算子 14

线性同构 15

内积空间 16

内积空间的定义及例 17

内积空间的几何 18

内积空间的线性子空间与同构 21

内积空间中的正交系 21

疑难问题解析 24

第二章 度量空间与赋范线性空间 27

赋范线性空间 27

赋范线性空间的定义及例 27

由范数导出的度量 30

收敛序列，连续映射 31

级数与Schauder基 34

完备的赋范线性空间 36

子空间 43

赋范线性空间中的点集 43

开集，闭集 43

集合的闭包 45

稠密集与可分空间 49

度量空间 51

度量空间 51

度量空间中的紧性 53

度量空间的完备化 54

有限维赋范线性空间 55

有限维赋范空间的完备性 55

有限维线性空间上范数的等价性 57

有限维赋范空间的特征 58

Banach压缩映射定理及其应用 60

Banach压缩映射定理 60

Banach压缩映射定理的应用 63

第三章Lebesgue积分与Lp空间 67

引言 67

Riemann积分的定义 67

Lebesgue积分的定义 69

集合的Lebesgue测度 69

可测函数 72

Lebesgue积分 74

有限测度集E上有界可测函数的积分 74

有限测度集E上无界非负可测函数的积分 81

可测集E上非负可测函数的积分 82

可测集E上任意可测函数的积分 82

Lebesgue积分的几个重要定理 84

Lp［a，b］空间 86

第四章 赋范线性空间上的有界线性算子 90

赋范线性空间上的有界线性算子 90

有界线性算子 90

线性算子的有界性和连续性 93

有界线性算子空间 94

有界线性算子代数B（X） 95

赋范线性空间上的有界线性泛函 96

赋范线性空间上的有界线性泛函 96

对偶空间 98

有限秩算子的构造 102

有限维空间上的线性算子 104

有限维空间上的线性算子的表示 104

Mn×n（C）上的方阵范数 106

方阵的谱半径 110

第五章 广义Fourier级数与最佳平方逼近 114

正交投影和广义Fourier级数 114

正交投影与正交分解 114

Fourier系数与Bessel不等式 117

完全标准正交系及其等价条件 119

函数的最佳平方逼近 122

最佳平方逼近问题 123

多项式逼近 126

用正交多项式作函数的最佳平方逼近 127

正交多项式 128

正交多项式的基本概念和性质 128

Legendre多项式 132

带权函数的正交多项式 138

曲线拟合的最小二乘法 142

曲线拟合的最小二乘问题 142

最小二乘解的求法 143

第六章 习题 147

线性空间与内积空间 147

度量空间与赋范线性空间 149

Lebesgue积分与Lp空间 153

赋范线性空间上的有界线性算子 154

Hilbert空间 157

广义Fourier级数与最佳平方逼近 159

附录 一些重要的不等式 161

Holder不等式 161

Minkowski不等式 163

参考文献 165

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